十一、不等式一、选择题1.（重庆理7）已知a ＞0，b ＞0，a+b=2，则y=14a b +的最小值是 A ．72 B ．4 C ． 92D ．5【答案】C2.（浙江理5）设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是A ．14B ．16C ．17D ．19【答案】B3.（全国大纲理3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞【答案】A4.（江西理2）若集合{},{}x A x x B xx -2=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ⋂=A ．{}x x -1≤<0 B ． {}x x 0<≤1C ．{}x x 0≤≤2D ．{}x x 0≤≤1【答案】B5.（辽宁理9）设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 （A ）1[-，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞） （D ）[0，+∞）【答案】D6.（湖南理7）设m ＞1，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m的取值范围为 A ．（1，1 B ．（1+∞）C ．（1,3 ）D ．（3，+∞）【答案】A7.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D8.（广东理5）。

已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为A． B． C ．4 D ．3 【答案】C9.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩画出可行域在12219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的点75x y =⎧⎨=⎩代入目标函数4900z =10.（福建理8）已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域21y 2x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，上的一个动点，则OA ·OM 的取值范围是 A ．[-1．0] B ．[0．1] C ．[0．2] D ．[-1．2]【答案】C11.（安徽理4）设变量y x y x y x 2,1||||,+≤+则满足的最大值和最小值分别为 （A ）1，－1 （B ）2，－2 （C ） 1，－2（D ） 2，－1【答案】B12.（上海理15）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B．a b +≥C ．D 11a b+>D ．2b aa b +≥【答案】二、填空题13.（陕西理14）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。

开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

【答案】200014.（浙江理16）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 ．。

【答案】15.（全国新课标理13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________． 【答案】-616.（上海理4）不等式13x x +<的解为 。

【答案】0x <或12x ≥17.（广东理9）不等式130x x +--≥的解集是 ．【答案】[1,)+∞18.（江苏14）设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=,},,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________【答案】]22,21[+三、解答题19.（安徽理19） （Ⅰ）设1,1,x y ≥≥证明;111xy y x xy y x ++≤++，（Ⅱ）c b a ≤≤<1，证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++.本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证能力.证明：（I ）由于1,1≥≥y x ，所以,)(1)(1112xy x y y x xy xy y x xy y x ++≤++⇔++≤++将上式中的右式减左式，得,0)1)(1)(1(,1,1).1)(1)(1()1)(1()1)(()1)(1())()(()1)(()1)(())((22≥---≥≥---=+---=-+--+=+-+--=++-++y x xy y x y x xy y x xy xy xy y x xy xy y x y x xy xy y x xy xy x y 所以即然从而所要证明的不等式成立.（II ）设,log ,log y c x b b a ==由对数的换底公式得.log ,1log ,1log ,1log xy c y b x a xy a a c b c ====于是，所要证明的不等式即为,111xy y x xy y x ++≤++其中.1log ,1log ≥=≥=c y b x b a 故由（I ）立知所要证明的不等式成立. 20.（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。

当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x的表达式;（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()().f x x v x=可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时） 本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。

（满分12分）解：（Ⅰ）由题意：当020,()60x v x ≤≤=时；当20200,()x v x ax b ≤≤=+时设再由已知得1,2000,32060,200.3a a b a b b ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩解得故函数()v x 的表达式为60,020,()1(200),202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩当020,()x f x ≤≤时为增函数，故当20x =时，其最大值为60×20=1200；当20200x ≤≤时，211(200)10000()(200)[]3323x x f x x x +-=-≤=当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立。

所以，当100,()x f x =时在区间[20，200]上取得最大值10000.3综上，当100x =时，()f x 在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈。

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。

21.（湖北理21）（Ⅰ）已知函数()1f x Inx x =-+，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设,k k a b (1,2k =…，)n 均为正数，证明：（1）若1122a b a b ++…n n a b ≤12b b ++…n b ，则12121n k k k n a a a ≤； （2）若12b b ++…n b =1，则1n ≤121222212.n k k k n n b b b b b b ≤+++本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。

（满分14分）解：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞，令1'()10, 1.f x x x =-==解得当01,'()0,()x f x f x <<>时在（0，1）内是增函数； 当1x >时，'()0,()(1,)f x f x <+∞在内是减函数； 故函数()1f x x =在处取得最大值(1)0.f = （II ）（1）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时， 有()(1)0,ln 1.f x f x x ≤=≤-即,0k k a b >，从而有ln 1k k a a ≤-，得ln (1,2,,)k k k k k b a a b b k n ≤-=，求和得1111ln .nn nk kk k k k k k aa b b ===≤-∑∑∑2111,ln 0,nn nk k kkkk k k a b b a===≤∴≤∑∑∑即1212ln()0,n k k k na aa ≤12121.n k k k n a aa ∴≤（2）①先证12121.nk k k n b b b n ≥ 令1(1,2,,),k ka k n nb ==则11111,nnnk k k k k k a b b n ======∑∑∑于是由（1）得1212111()()()1n k k k n nb nb nb ≤，即1212121,nn k k k k k k nn n b b b +++≤=12121.n k k k n b b b n ∴≥ ②再证122221212.n k k k n n b b b b b b ≤+++ 记21,(1,2,,)nkk k k b S b a k n S====∑令，则2111111nn nk k k k k k a b b b S ======∑∑∑，于是由（1）得1212()()() 1.nk k k n b b bSS S ≤ 即121212,nn k k k k k k n b b b S S +++≤=122221212.n k k k n n b b b b b b ∴≤+++综合①②，（2）得证。