三角形基本概念与性质
一、考点梳理
1、 三角形的边、角关系
（1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
（2）三角形的内角和等于180°，外角和等于360°.
（3）三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.
2、三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.
（1）内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.
（2）外心： 三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离
相等.
（3）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
3、等腰三角形
性质：（1）两底角相等(等边对等角).
(2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一)
(2)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
判定：（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
4、多边形的内角和等于()0
1802⋅-n ，多边形的外角和等于360° 二、课堂精讲
5、（2012广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ）.
A ． 5
B ． 6
C ．11
D ． 16
6、（2012湖南郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）.
A ．1cm ，2cm ，4cm
B ．4cm ，6cm ，8cm
C ．5cm ，6cm ，12cm
D ．2cm ，3cm ，5cm
7、（2012滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（ ）.
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
8、（2007广东）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）.
A 、三条中线的交点
B 、三条高的交点
C 、三条边的垂直平分线的交点
D 、三条角平分线的交点 9、（2008广东）如图1，在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，
且∠A +∠B=120°，则∠AN M= ° 10、（2008广东）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是___________
11、（2010广东）正八边形的每个内角为（ ）
A ．120º
B ．135º
C ．140º
D ．144º
12、（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A ．16
B ．18
C ．20
D ．16或20
A M
N
B
C 图1
_ D _ C
_ B _ A 13、例题：(2012广西玉林)已知等腰△ABC 的顶角∠A=36°（如图）.
（1）作底角∠ABC 的平分线BD,交AC 于点D （用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）
（2）通过计算说明△ABD 和△BDC 都是等腰三角形.
解：（1）如图所示：BD 即为所求；
（2）∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，
∴∠CDB=180°-36°-72°=72°，
∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，
∴AD=DB，BD=BC ，
∴△ABD 和△BDC 都是等腰三角形．
三、巩固训练
14、现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组
成的三角形的个数是（ ）.
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
15、如图，在△ABC 中，∠A=45°，∠B=60°，则外角∠ACD= 度．
16、一个三角形的周长是36，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的
周长是 .
17、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是 （ ）
A ．四边形
B ．五边形
C ．六边形
D ．八边形
18、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=20°，则∠C= °
19、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=400，BD 是∠ABC 的平分线.
求∠BDC 的度数.
20、如图所示，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE=CD ．
（1）用尺规作图的方法，过D 点作DM BE ⊥，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BM EM ．
A B C
E D
课 时 作 业
一、选择题
1、如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，这个三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
2、若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A. 50°
B. 80°
C. 65°或50°
D. 50°或80°
3、三角形的三边分别为3，1-2a ，8，则a 的取值范围是( )
A ．-6＜a ＜-3
B ．-5＜a ＜-2
C ．2＜a ＜5
D ．a ＜-5或a ＞-2
4、正六边形的每个内角都是（ ）
A. 60°
B. 80°
C. 100°
D.120°
5、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A ．BC=2DE
B ．△ADE∽△ABC
C ．AC AB AE A
D = D ．S △ABC =3S △AD
E 二、填空题
6、等腰三角形中两条边长分别为3、4，
则三角形的周长是_________
7、如图在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD ∥AC ，则∠CBD 的度数是______.
8、在△ABC 中，若∠A、∠B 满足02221cos 2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-siinB A ，则∠C= ． 9、三角形的每条边的长都是方程
的根，则三角形的周长是__ __ 10、边长为a 的正三角形的面积等于______.
三、解答题
11、已知等腰△ABC 中，∠ABC=∠ACB=2∠A ，且BD ⊥AC ，垂足为D ，求∠DBC 的度数.
12、如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，
点E 是AB 的中点，连结EF.
（1）求证：EF ∥BC.
（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.
四、拓展
13、我等们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．。