.课时作业(八)[学业水平层次]一、选择题1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为35的椭圆的标准方程是( ) ＋y 236＝1 ＋y 264＝1 ＋y 216＝1 ＋y 29＝1 【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝35，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1，故选C.$【答案】 C2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12.【答案】 A3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点）B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.【答案】 B4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( )B ．－513D ．－21313#【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3，故c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 23＝1，解得y 0＝±32，所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝132. 由余弦定理知cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |22|OM ||ON |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1322－322×132×132＝－513.【答案】 B 二、填空题#5．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．【解析】 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.【答案】 126．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝________.【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1，k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ·k OM ＝y 22－y 21x 22－x 21，b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2，"得b 2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 21)＝0，即y 22－y 21x 22－x 21＝－b 2a2.【答案】 －b 2a27．(2014·天津高二检测)已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.【答案】 [1,2] 三、解答题8．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．￥【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1.(2)因椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵2c ＝8，∴c ＝4，《又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20.∴椭圆的方程为x 236＋y 220＝1.9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OPA ＝120°，求椭圆的离心率．【解】 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限，由题意，点P 的横坐标是a2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 2，32b ，又∠OPA ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝32b a2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝a 2－b 2a＝3b 2－b 23b ＝223.[能力提升层次]1．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )－1 C ．2－ 2%【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题得|PF 2|＝b 2a＝2c ，即a 2－c 2a＝2c ，得离心率e ＝2－1，故选B. 【答案】 B2．(2014·清远高二期末)“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m＝1的离心率为12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件!C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 椭圆x 24＋y 2m ＝1离心率为12，当0<m <4时，4－m 2＝12，得m ＝3， 当m >4时，m －4m＝12，得m ＝163，即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的充分不必要条件．【答案】 A3．(2015·济南历城高二期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________． -【解析】 由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ，则离心率e ＝12.【答案】 124．(2014·青海省西宁)已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【解】 (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，|则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋6x －4＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，只能取x ＝32，于是y ＝523.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523.(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15， 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝92时，d 取最小值15.。