版权所有，翻版必究 证明：
s ¬ +a ¬ 10 p s ¬ = 10 p
∞ p (1+i)10−1+1
i (1+i)10−1
i
1 i = 1−v10
7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半
年200元，然后减为每次100元。 解：
PV =100a¬8p3%
+100a20¬p3%
100a60¬p1% =6000(1+i)−k
解得
25.已知a¬2pi=1.75，求
i。 解：由题意得
k=29 1−v2=1.75i i=9.38%
解得 26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20 年
的期末年金为每年1072元。计算年利率。 解：
hing at a time and All things in their being are good for somethin
30
piYa10¬piv10
所以 Y =3−v10−2v30 .8 1+v10−2v30=1
14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另
外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。计算i。
解：由题意知，
2a2¬npi+3a¬npi =36
2a¬npivn=6
解得
15.已 知
=2189.716
8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然
后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，
后15年的年利率7%。计算每年的退休金。
解：设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日
1000¨25¬p8%=X¨15¬p7% 解得 9．已知贴现率为10%，计算¨¬8p X=8101.65
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每
年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金
额为Y，在第11－20年中没有。已知：v10=1，计算Y 。
解：因两种年金价值相等，则有
2
a ¬ a ¬ Ya ¬− 30 pi+ 10 piv10=
3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1。试计算该年金的现值。
解：
n
PV = na¬npi
1−vn
=n 1
=
n
(n+1)nn2−nn+2
(n+1)n
4．已知：a¬np
=X，a2¬np
=Y。试 1
用X和Y表示d。
解：a2¬np
=a¬np
+a¬np (1−d)n则
d=1−(
Y −X X
)n
付一个货币单位，则两种年金的现值相等。
解：第一种年金的现值为
∫1 vtdt= 1−e−δ
0
δ
第二种年金的现值为e−δt，
则
1−e−δ =e−δt
所以 t=1+1δlnδi
δ
41.已知：δ=0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现
值。（结果和李凌飞的不同）
解：设季度实利率为i。因a(t)=eδt，则e14δ =(1+i)所以
解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，X 有 1000¨20¬pi= i v29
解得
X=1000((1+i)30−(1+i)10)
20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人
平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相
同。计算(1+i)n。
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38.已知i(4)=16%。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元， 共12年。（问题） 解：
39.已知：δt=1+1t。求¯¬np 的表达式。
解：
¯¬np =
∫n
0
e−R0tδsdsdt=ln(1+n)
40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支
解：
S=1000s20¬p7%+Xs10¬p7% X=
50000−1000s20¬p7%=651.72 s ¬ 10 p7%
2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。计算首次付款金额。 解：设首次付款为X，则有
解得
10000=X+250a48¬p1.5% X=1489.36
12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。 解：
PV =100a49¬p1.5%
−100a¬2p1.5% =3256.88
AV =100s49¬p1.5% −100s¬2p1.5% =6959.37
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27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元， 且第十年底的余额为一万元，计算K。 解：由题意可得价值方程
10000=105Ka¬2p4%v3+Ka¬2p4% +10000v10
31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现
值表达式。
解：
32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解：
PV
=
1 s¬4
a ¬ 24 piv3=
(1+i)24−1 (1+i)27[(1+i)4−1]
= a28¬−pa¬4p s¬3p +s¬1p
解：设年实利率为i，则(1+2%)2=1+i。有题意得
75 0
i
+
750 s ¬ 20 pii
=Ra30¬pi
解得Байду номын сангаас
R=1114.77
34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。
解：由题意知 解得
i=20%
1 = 125 is¬3pi 91
35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年
5%
PV = P (1+i)2+23
=41300.657
18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。
解：设递延时间为t，有
解得
t=−ln(1+lniPi)
P = 1i vt
19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一
定的金额X，直至永远。计算X。
则 K=
10000−10000v10
=979.94 105a¬2p4%v3+a¬2p4%v5 28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，
前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。
解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程
1
P(1+i)2=X+2Xa¬4pi+2Xa¬5pj
金，计算R。
解：由题意得 解得
R=1.95
20=
1 d
=
R a¬2pi
i
36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延
时间。
解：设贴现率为d，则 1+i
(2)
=
1
2 (1−d)12
设递延时间为t，由题意
得
10000=2×500vt¨(2)∞¬p
解得
1
t=
ln20+ln(1−(1−d)2) ln(1−d)
pi
北京大学数学科学学院金融数学系
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33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末
年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。
后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。
解：
100a¬np4.5%v4<1000 100an+1¬p4.5%v4>1000
列价值方程
解得 n=17
解得
100a16¬p4.5%+Xv21=1000 X=146.07
23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果
aa1¬1¬7p=
p
a¬3p +sX¬p
i=8.33%
aY¬p
。求X，Y和Z。
+sZ¬p
解：由题意得 解得
1−v7 = (1+i)X−v3 1−v11 (1+i)Z−vY
16.化简a15¬p (1+v15+v30)。 X=4,Y =7,Z=4
解：
a15¬p (1+v15+v30)=a45¬p
北京大学数学科学学院金融数学系
(1+i)−4
所以 P(1+i)12
X= 1+2a¬4pi+2a¬5pj (1+i)−4
29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付