习题5.11.,,,,,().11,,().22ABCD AB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=-=-+设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b()2.,1().211221().2M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OAOA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证 3.,,1().3221()3321(),31(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+⨯+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().313,().3CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++ 4.,1,().41(),211(),(),221().24ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1,().4OM OA OB OC OD =+++2222225.?(1)()();(2)();(3)()().(1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==⨯=⨯======0对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,112211().22DE DA AE BA AC BA AC BC =+=+=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证2227.:(1),;(2).(1)()()()()||||0.()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB ADAB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,||()cos cos .|||||||||||,.a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB ADAB AC AB AC a AC βααβαβ+++=====与都是锐角故22222(2)||()()||||2||||.AC AC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+2222222222222222228.()()||||.()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα⨯+=⨯+=+=+=∆=⨯证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11的面积=的面积22证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b222222222210.,,,()()2().()()()()()()222().=++-=+++-=+++--=-+给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b2222222222211.,,:().:()||(||sin )||sin ||.,αα⨯≤⨯=⨯==≤=对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22a b a b a b a b a b a ||b a ||b a ||b a b a b .习题5.21.(,,),,,,.||,||,2.(1,2,1),(3,0,1),(2,1,2),,,,(3,0,1)(1,2,1)(4,2xy z xy yz O x y z x y z Oxy Oyz d d d d z d x d x A B C AB BA AC BC AB =======-===--=-写出点分别到轴轴轴平面平面以及原点的距离已知三点求的坐标与模.解解,0),||20|(4,2,0)(4,2,0)25,(2,1,2)(1,2,1)(3,1,1),||11,(2,1,2)(3,0,1)(1,1,1),|| 3.3.(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),132(9,6,6)2AB BA AB AC AC BC BC ===-=--=-=-=--=-==--=-==-==---+a b c a b +c =1112(2,6,4)(4,3,1)(11,9,1).4.(2,5,1),(1,2,7),,.2,7).(2,5,)(1,2,7)(21,5,2,7),70,7.5.,(,,)(k k xy k k k k k k k k k A B x y z x ︒︒---+-=-==-+=-+=+-=+-++==-设分别求出沿和方向的单位向量并求常数使与平面平行1设两点的坐标分别为和解a b a b ,a b a b a b 22111222121212,,),,.111()((,,)(,,))(,,).2226.(1,2,3),(5,2,1),(1)23(2)(3)cos ,.(1)2366(2)12.(2)1(3)cos y zA B C OC OA OB x y z x yz x x y yz z =+=+=+++=-=-<>⨯-=-求连线中点的坐标设求解解a b a b a i a b a b =a b =a i = .2222,|||7.||1,||3,||2,|/3,?17|()()||||||2()11942(3),23333,cos ||||322π<>======+⊥+=+=++=++++==+++⨯+==⨯设求解a b a b |a b a b c a b +c |=a c <a,b >=<b,c >=a b +c |a b +c a b +c a b c a b +b c a c b c b c b c =<b,c >=b c .6π<b,c >=22228.||2,||6,,()()||||4360,1/3.k k k k k k k k ==⊥--=-=-==±设试求常数使解a b a +b a b.a +b a b a b 9.(1,2,1),(1,1,3),(2,5,3)(1)(2)(3)()(4)()(5)().(1)121(5,2,1),113(2)253(3,0,2).01121(3)()11323.(4)()5212532=-=-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=---⨯-=-⨯-=-⨯⨯---解a b c a b c j a b c a b c a b c ijka b =i j kc j =ijka b c =a b c =(1,13,21).53(5)113(12,9,7),()121(23,19,15).2531297=---⨯-=-⨯⨯=-=-----i jk i j kb c =a b c10.,(2,1,0)(0,1,2),,.(2,1,0)(0,1,2)(2,0,2),(0,1,2)(2,1,0)(2,2,2).cos ,|ABCD AB AD AC BD AC AB AD BD AD AB AC BD AC BD AC ==-<>=+=+-==-=--=--<>=在平行四边形中求两对角线的夹角解00,,.2||||||||||5,,,.2AC BD BD AC BD AB AD ABCD AC BD ππ==<>===<>=平行四边形为菱形故两对角线的夹角解二|11.(3,4,1),(2,3,0),(3,5,1),.(1,1,1)(1,1,1),(0,1,0),111(1,0,1),01012A B C ABC AB AC AB AC ABC =---=-=⨯==-=已知三点求三角形的面积三角形的面积解i j k12.(3,4,5),(1,2,2)(9,14,16).345(,,)1220,,9141613.|1,||5,3,|.344cos ,,sin ,,|||||sin ,15 4.||||555======-⨯-<>==<>=⨯=<>=⨯⨯=证明向量和是共面的因为故和是共面的.已知|求||证解a b c a b c a b c a =b a b =a b a b a b a b a b a b a b a b14.cos ,cos ,cos ,,(1)cos 0,cos 0,cos 0;(2)cos cos 0,cos 0;(3)cos cos cos .(1)(2)115.||,2x z αβγαβγαβγαβγπαβγ=≠≠==≠==-===设向量的方向余弦在下列各情况下指出的方向特征与轴垂直是沿轴的的向量.(3)与三个轴的夹角相等,都是设的三个方向角满足求的坐标解a a .a .a a a aa 22222222cos 21,(2cos 1) 1.1cos ,2(21)1,4211,2(21)0,0,.2cos 0,,(0,0,213cos ,cos ,.(1,1,0).24416.,(75)(3),(4)(72),co x x x x x x x x x αααααπααππααα+=+-==+-=-+=-=========-⊥+-⊥-设为两非零向量且求22解2cos 2cos .a a =ab ,a b a b a b a b 2222222222s ,.(75)(3)0,7||15||16||||cos ,0,(4)(72)0,7||8||30||||cos ,0.||||1516cos ,7,||||||||830cos ,7.||||716730||1516||83<>-+=-+<--=+-<⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩---=--解a b a b a b a b a b a b >=a b a b a b a b a b >=b b a b >=a a b b a b >=a a b a ||1,1||157871cos ,.15162830==---<==--b a a b >习题5.31.:(1)5310(2)270(3)50(4)290(5)50(6)0.(1).(2).(3).(4).(5).(6).2.:(1)(1,5,1)(3,2,2);(2)(5,2,8);(3)x z x y z y y z x y x y Oxz x z Oyz y Oxz -+=+-=+=-=--==---指出下列平面位置的特点平行于轴过原点平行于平面过轴平行于轴平面求下列各平面的方程平行于轴且通过点和平行于平面且通过点垂直于平解451(2,7,3)(0,0,0);(4)(5,4,3)(2,1,8).(1)(0,1,0),(2,7,3),010(3,0,2).2733(1)2(1)0,3250.(2) 2.(3)(1,4,5),(2,7,3),145(47,13,1).27347x y z Oyz x z x z y -+=---==-==-------=+-===-=-=-=----面且通过点及垂直于平面且通过点及解i jka b n i j ka b n 1310.(4)(1,0,0),(7,5,5),100(0,5,5)5(0,1,1).755(4)(3)0,70.x y y z y z ++===-==-=---++-=-+=ij ka b n3.(2,4,8),(3,1,5)(6,2,7).(5,3,3)(4,6,1).533(15,17,42),46115(2)17(4)42(8)0,1517422380.4.1,A B C x y z x y z y z a a --=---=-----=--------+-=+-+=++=求通过点及的平面方程设一平面在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5,-7,4),求此平面的方程.x 5 a 解解a ,b i jkn =741,2,20.5.(2,1,2)(8,7,5),.(6,8,7).6(8)8(7)7(5)0,6871390.a x y z a aA B B AB x y z x y z -++==++-=--=-+-+-=++-=a 已知两点及求过且与线段垂直的平面解n126.(2,0,3)22470,3250.224(0,16,8)8(0,2,1).2(3)0,30.3127.94230.0,420,1,2,20.2408.:380x y z x y z y z y z x x y z By Cz B C B C y z x z l l y z --++=+-+=-==++=++=---+=+=--===--=+-=⎧⎨-+=⎩求过点且与垂直的平面方程求通过轴且与平面垂直的平面方程取求通过直线且与直线解解ijkn =0101240:.60102(6,1,3),110(1,1,1),03111613(2,9,7).0,4,8/3.1112(4)9(8/3)7()0,297320.383129.::1324x y y z z l y x y z x y z x t x y z l l y t z --=⎧⎨--=⎩==--=--=-=--===---++-=-+-+==+++-===+0平行的平面方程用代入的方程得x 求直线与直线解ij ki j ka b =i j k n 000,26383112621116,11,,3243223131413148,,,(8,,3333324(0,6,3)3(0,2,1).2(1)(2)0,240.312t t t t t t t t x y z y z y z ⎧⎪⎨⎪=+⎩+++++-==+=+=+=-=-=-=----==-=-+--=-+=的交点坐标并求通过此两直线的平面方程.求两条直线交点坐标:交点).解i j kn121112210.::.211422(1,1,1)(2,2,0).211(4,5,3).3314(1)5(1)3(1)0,45320.x y z x y zl l x y z x y z -+++-====-------=------+++=--++=求通过两直线和的平面方程两直线平行.平面过点和解 i j kn =1221121211.::.121012,(1,2,1)(0,1,2)21123,5,0,.121210(1)3x y z x y z l l t t l t t x y z -++--====----⎧--+-+⎪====⎨-⎪⎩+-+=证明两直线和是异面直线证首先两直线的方向向量 和 不平行.x=-2y=1+t 矛盾故两直线无公共点.z=2-2t两直线不平行,又无交点,故是异面直线.12.将下列直线方程化为标准方程及参数方程:0000350(2)280;280.(1)211(1,7,5).31210(1)0,6,7.280;67.7567,.75(2)(1)103(3,2,1).012(2)0,x z x y z y z y z x y z y z y z x t y t t z t -+=⎧⎧⎨⎨-+-=-+=⎩⎩=-=----+=⎧===⎨-+-=⎩--==--=⎧⎪=--∞<<+∞⎨⎪=-⎩=-=-=解中令解之得x 标准方程1参数方程:中令z 直i j kn i j kn 005,8.58.3215382,.y x y zx t y t t z t =-=-++===-+⎧⎪=-+-∞<<+∞⎨⎪=⎩接得x 标准方程参数方程:00013.(3,2,5)3790.100(0,5,2),325520.5203790.052(33,6,15)3(11,2,5).317500,0, 3.390.3:11x y z y z y z x y z y z y x x y x ---+===-+=+=⎧⎨--+=⎩==--=----=⎧===-⎨-+=⎩+=-求通过点及x 轴的平面与平面的交线方程解地第一个平面的法向量平面方程直线方程直线的方向向量直线方程i j kn i j ka .25y z=-0000121326014.,403260(0,0,),40260 3.02404015.::.380601020x y z D Oz x y z D x y z Oz z x y z D z D z z D x z x y l l y z z y l -+-=⎧⎨+-+=⎩-+-=⎧⇔⎨+-+=⎩-=⎧⇔⇔==⎨-+=⎩--=--=⎧⎧⎨⎨-+=-+=⎩⎩=-当为何值时直线与轴相交?解直线与轴相交存在在此直线上试求通过直线并与直线平行的平面方程解的方向向量ij ka 2000(6,1,3).31110(1,1,1)(1,1,1).011613(2,3,5).111804,.38:2(4)3()50,2350.3l z x y x y z x y z =-=-=---=--==--===----++=+-=的方向向量平面的法向量在的方程中令得所求平面方程即i j kb ij kn04316.(1,2,3).132(1,2,3):(1)3(2)2(3)0.43.32:1(1)3(432)2(323)0,,215(,,2).222x y z x y z x t y t z t t t t t d --==-------==⎧⎪=-⎨⎪=-⎩-------====求点到直线的距离解过点垂直于直线的平面直线参数方程:代入平面方程得对应交点的参数直线与平面交点为所求距离000017.(2,1,3)2230.(2,1,3)2230:2212,.322(22)2(12)(3)30..9141325,,.999141325(2,1,3)2230,,999x y z x y z x ty t t z t t t t t x y z x y z -+-=-+-==+⎧⎪=--∞<<+∞⎨⎪=+⎩+--++-==-===⎛-+-=求点到平面的距离与投影解过点垂直于平面的直线方程的参数方程代入平面方程点在平面上的投影为.(2,1,3)22302.3x y z ⎫ ⎪⎝⎭-+-==点在平面的距离为0111118..12312311(1,1,0)12311(1,1,0)123(1)2(1)30.12,131(1)2(2)3(13)0,7x y z x y z x y z x y z x y z x t y t z t t t t t -++-====--+--==-+--==---++==⎧⎪=--⎨⎪=+⎩---++==-求两平行直线与的距离解所求的就是点到直线的距离.作法与16题雷同.过点垂直于直线的平面:直线的参数方程代入平面方程111.154(,,).7771119.(2,1,3):3213(2)2(1)(3)0.1312:3(33)2(2d x y zA l A l x y z x t l y tz t t t t --==+-==--+---==-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩-++直线与平面交点所求距离求过点并与直线垂直且相交的直线方程.解过点垂直于直线的平面方程直线的参数方程代入平面方程求交点对应的参数他03)(3)0,.72133(,,).777,2133126246(2,1,3)(,,)(2,1,4).7777777213:.214t t B A B AB x y z ---==-=----=--=-----==-交点连结点 的直线的方向向量所求直线方程020.36270362140.7(0,0,)2367/227/22)140,391837,(,,).77714 3.x y z x y z A x t A y tz t t t +--=+-+=-=⎧⎪=⎨⎪=--⎩--+==----==求两平行平面与之间的距离解点在第一张平面上.过垂直于第二张平面的直线的参数方程:求直线与第二张平面的交点:3(3t)+6(6t)-2(所求距离 习题5.422222222222222222221.23446161602344616160,2344616172(1)23(1)34(2)16162(1)3(1)4(2)50.(1)(1)(2)1,x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++--++=++--++=++--++=--+--++-+=-+-++-=--+++=⎝⎭求椭球面的中心的坐标及三个半轴之长度.解:(1,1,2),-中心坐标半轴22222222222222.,:(1)811241;.(2)491425;.(3)29169;(4)2;(5)2;(6).x y z x y z x y z x y x y z x z xy ++=--=-+-=--=+==说出下列曲面的名称并画出略图椭球面单叶双曲面双叶双曲面.双曲柱面.椭圆抛物面.双曲抛物面.2222222222222222223.:(1)(1)(1)(3);(2)1;(3)1;944916(4);(5).x y z R y z x y z x x y z y z z a b a b-+++-=++=+-==-=+求下列曲面的参数方程1sin cos (1)1sin sin 0,02;3cos x R y R z R ϕθϕθϕπθπϕ=+⎧⎪=-+≤≤≤<⎨⎪=+⎩解sin cos (2)3sin sin 0,02;2cos x y z ϕθϕθϕπθπϕ=⎧⎪=≤≤≤<⎨⎪=⎩习题5.5023********(1),,,(1,1,1);(2),(2,2,4);(3)(0)(,0,).11111,2,3,(1,2,3),,123:(1)2(1)3(1)0P x t y t z t P z x y x P x y R R z x y P R R x y z x y t z t x y z =======+=>=+=---'''======-+-+-=1.求下列曲线在指定点的切线方程和法平面方程：曲面与的交线柱面与平面的交线（）切线方程:法平面方程解t 211,2360.224(2),,,1,1,2,(1,1,4).,114:(2)(2)4(4)0,4200.(3)(2,2,0)(2,0,0),(1,1,1),200(0,2,2)2(0,1,1),11101x y z x y z x x y x z x x y z x x y z x y z x y R R R R R x R y z ++-=---'''=========-+-+-=++-====-===---==切线方程:法平面方程切线方程:t ij kn n a ,:0.1Ry z R +-=法平面方程2cos (5)sin 0,02x ar y br r z r θθθπ⎧=⎪=≤<+∞≤≤⎨⎪=⎩2cos 4sin 0,02cos x r y r r z r θθθπθ⎧=⎪=≤<+∞≤≤⎨⎪=⎩（）cos 2.sin (0,0,02)(,,)(sin ,cos ,),(cos ,cos ,cos )sin ,cos ,),cos .0x R t y R t R b t z bt z x y z R t R t b R t R t b παβγπ=⎧⎪=>>≤≤⎨⎪=⎩'''=-==-==<求出螺旋线在任意一点处的切线的方向余弦，并证明切线与轴之夹角为常数.常数常数.解t <t,k ><t,k ><,<t,k >=12312311223311223.()(),.()()()()()().()((),(),()),()((),(),()),()()()()()()()(),()()[()()()t t t dt t t t t t dtt a t a t a t t b t b t b t t t a t b t a t b t a t b t d dt t a t b t a t b dt dtαβ==<<''=+===++=+设与是两个可导的向量函数证明设证a a b b a b a b a b a b a b a b 33111122223333112233112233()()()]()()()()()()()()()()()()[()()()()()()][()()()()()()]()()()().t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t t t t t +''''''=+++++''''''=+++++''=+a b a b224.()(),|()|().(),()()0.()(),()(),()()()()0,2()()0,()()0.t t t C t t t d d t t C t t C t t t t t t dt dtt t αβ=<<='='''==+=='=设是一条光滑曲线切常数证明与切线垂直即证r r r r r r r r r r r r r r r r r r第五章总练习题2222222222,,:(1)||||;(2)|||||;(3)(1)||||||||||||2||||20,(2)|||||||(|||)||||2|=-=--=-⇔=-⇔++=++⇔⇔=-⇔=-⇔++⇔1.设 为两个非零向量指出下列等式成立的充分必要条件与共线正交.a b a +b a b a +b a |b a +b a b .a +b a b a +b a b a b a b a b a b a b =a b a +b a |b a +b a |b a b a b a 解22|||2||||||||||||cos ||||cos 1,(3)()()000,+-⇔=⇔<>=-⇔<>=-⇔-⇔⨯-=⇔⨯-⨯=⇔⨯⇔共线且方向相反与共线共线.b a b a b a b a b a,b a b a,b a b .a +b a b a +b a b b a a b a b =a b2222222.,:(1)()();(2)();(3)()()(1)()().(2).:()0 1.(3).()(),=⨯=⨯=≠=≠=⨯⨯0设为非零向量判断下列等式是否成立不成立.例如:不成立例如成立和都是的有向体积且定向相同a,b,c a b c a b c a b =a b a b c a b c.i i j j i i j i j =i j a b c a b c a,b,c .解3.5342.5)(3)0,(4)(72)0.715160 (1)78300 (2)(1)15(2)8161()0,0.4.,:.,ABC A -+----+=--=⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩⨯+⨯-=-=∠设为非零向量,且7与正交,与与7正交,求7利用向量运算证明下列几何命题射影定理考虑直角三角形其中2222222222a,b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a +b a b a b a b 解(22222,,,,.,,0()(),AD AD BD CD AB BD BC AC CD CB AB AD DB AC AD DC AB AC AD DB AD DC AD AD DC DB AD DB DC AD DB DC A ====+=+==++=+++=+为直角是斜边上的高则证222222222(,).()).().D DB DC BD DC BD DC BD DC AB AD BD BD CD BD BD CD BD BD BC AC AD CD BD CD CD CD BD CD CD BC =-==⨯=+=+=+==+=+=+=同向5.,,(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)..(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1).(0,1,1),(0,1,0),(0,2,1),(1,0,0)(0,2,1)(1,2,1).A B C ACDBD D A B C AC AB AD AB AC OD OA AD D ======+==+=+=已知三点的坐标分别为若是一平行四边形，求点的坐标点的解(1,2,1).坐标22222222222222212126.,()().()|||sin ,|||(1cos ,)||||||||cos ,().112127.:,:,,121012.121012x y z x y z L L L L ⨯-⨯=<>=-<>=-<>=--++--====--=-=-设为非零向量,证明设有两直线求平行于且与它们等距的平面方程2222a b a b =a b a b a b a |b a b a |b a b a b a b a b a b a b i jkn 证解(5,2,1),(1/2,1/2,1/2),5(1/2)2(1/2)(1/2)0,5210.A x y z x y z ---=-+----=+++=所求平面过点所求平面:-001101018.,||.||||||||.L P L P P P L d d P P AB d P P ⨯==⨯=⨯设直线通过点且其方向向量为证明外一点到的距离可表为平行四边形的面积v v v v v 证112121212121212121212121212121212129.,,.()0.,,()0.10.,,,.min ||Q L Q LL L PP L L PP L L PP PP L L P P L L d Q Q ∈∈⨯=⇔⇔⨯==设两直线分别通过点且它们的方向向量为证明与共面的充分必要条件为与共面共面设两直线分别通过点且它们的方向向量为与之间的距离定义为证明:,v v v v v v v v ,v v 证1211211212121212121211121212112(1),|||()|(2).||(1),8,.||()(2)(||PP L L d PP L L d L L L L PP d PP PP ⨯=⨯=⨯⨯=⨯=⨯当与平行时它们之间的距离可表示为当与为异面直线时,它们之间的距离可表示为当与平行时,它们之间的距离为上任意一点到的距离由第题v v v v v v v v v v v v v 证21212121212121212)|()|()||PP L L PP PP L L ︒︒⨯⨯⨯=⨯是在与的公垂线方向的单位向量上的投影,故其长度||是异面直线与之间的距离.v v v v v v v111122221211111222221211111222011.0:(1),()()0;(2),,()(A x B y C z D L A x B y C z D A x B y C z D A x B y C z D L L A x B y C z D A x B λλλλπλλπλλ+++=⎧⎨+++=⎩+++++++=+++++设直线L的方程为:证明对于任意两个不全为零的常数,方程表示一个通过直线的平面任意给定一个通过直线的平面必存在两个不全为零的实数,使平面的方程为22111222121111122222111122211112222)0.(1)(,,)(,,),,,()()0(,,)(,,)(0,0,0),0(,,)0y C z D A B C A B C A x B y C z D A x B y C z D A B C A B C L A x B y C z D x y z A x B y C z D λλλλλλ++=+++++++=≠+++=⎧⎨+++=2向量与不共线故对于两个不全为零的常数的主系数+是一个平面的方程,并且 上点的坐标 满足证1111122222000000111222111222,()()0.(2),()()()0.(,,).(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,),A x B y C z D A x B y C z D L A x x B y y C z z Ax By Cz D x y z L A B C A B C A B C L A B C A B C λλπ⎩+++++++=-+-+-=+++=故满足设平面通过直线其方程为在上三个向量 与均垂直于的方向向量故共面又与都是非零向量故存在两个不全为零的121111222200012201220112201101010220202011221111122222,,(,,)(,,)(,,).()()()()().()()0.A B C A B C A B C D Ax By Cz A A x B B y C C z A x B y C z A x B y C z D D A x B y C z D A x B y C z D λλλλλλλλλλλλλλπλλ==---=---+=-++-++=++++++++=11常数使得+++故表示为121212121221212121212124012.::113380(24)(38)0,3(2)480.,(,3,2)(1,1,1)0,320,20.2,x z L L x y z y z x z y z x y z L λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--=⎧-=+=-⎨-+=⎩--+-+=++---+=--=+--=-+==试求通过直线且与直线平行的平面方程.根据题的结论所求平面方程有形式由于平面与平行令解11,21,250.x y z =+-=得所求平面方程3 22213.:1,:2260.42(1);(2),.(1)(2,,).420.222()()()02y z S x x y z S S y yS x z x z yx X x Y y z Z z ππππ++=+++=++=-+-+-=已知曲面S的方程为平面的方程为求曲面的平行于的切平面方程在曲面上求到平面距离为最短及最长的点并求最短及最长的距离的法向量解22222213.:1,:2260.42(1);(2),.(1)(,,).(2,,).22/2.2,.212:21,y z S x x y z S S yS x y z S x z xy zz x y z x x x x πππππ++=+++=====++==±已知曲面S的方程为平面的方程为求曲面的平行于的切平面方程在曲面上求到平面距离为最短及最长的点并求最短及最长的距离上的点记为的法向量切平面与平行,则法向量对应坐标成比例：与曲面方程联立解 111111221,1, 1.22()()()0212 2. 2.22(3,0,0).17(,1,1),(,1,1),227(,1,1)(2,1,2)102.||331(,1,1),2y z yx X x Y y z Z z yxX Y zZ X Y Z A P A P P A P A P d P P ππ=±=±-+-+-=++=±±±==-===------====---切平面方程：，利用曲面方程得平面过点点到平面的距离点n n 2225(,1,1),25(,1,1)(2,1,2)22.||3311(,1,1)(,1,1),22210.33A P A P d S ππ=--===---到平面的距离在曲面上到平面距离为最短及最长的点分别是和并求最短及最长的距离分别是和n n114.,1011.1101,02.x y z z x z y z z z x y z z x y z z z θθθπ-===⎧⎪=-∞<<+∞⎨⎪=⎩-==⎧=⎪⎪=-∞<<+∞≤≤⎨⎪=⎪⎩直线绕轴旋转一周求所得旋转曲面的方程.直线参数方程直线绕轴旋转,对于固定的z,故旋转曲面的方程解2222222221(,0),15.01.y z b c z b c x x y z b c⎧-=>⎪⎨⎪=⎩+-=求双曲线绕轴旋转一周所得曲面的方程.解22222222116.2.21,(1) 2.x y z Oxy z yx y y x y ⎧++=⎪⎨=⎪⎩++=++=求曲线在平面上的投影曲线的方程解。