习题1.3
1.(1,2,),lim 1,
0,
,
2
|-1|,:
n n n n n
x n x N n n N x εε→∞===>+>< 设证明即对于任意求出正整数使得当时有 并填下表
2
2
0,1,|-1||
1|,2,
22
22,,|-1|.
2.lim ,lim ||||.
0,,,||,
||||||||,
lim ||||.
3.{},
(1),n n n n n n n n n n n n n x n n n N n N x a l a l N n N a l a l a l a l a l N εεεε
εεεεε→∞
→∞
→∞
∀><=-=<>
-++⎡⎤
=-><⎢⎥⎣⎦==∀>∃>-<-≤-<=不妨设要使只需取则当时就有设证明使得当时此时故设有极限证明存在一个自然数证证1||||1;
(2){},,
||(12,).
(1)1,,,||1,
|||||||||| 1.
(2)max{||1,||,,||},
||(12,).
-313(1)lim 23n
n n n n n n N n n n N a l a M a M n N n N a l a a l l a l l l M l a a a M n N n n εε→∞<<+≤==∃>-<=-+≤-+<+=+≤=+=- 是一个有界数列即存在一个常数使得对于使得当时此时令则 4.用说法证明下列各极限式:
证23/23/2; (2)0;2!
(3)lim 0(||1); (4)lim
0;
111(5)lim 1;1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)31311
(1),
2322(23)
n
n n
n n n n
n n q q
n n n n n
n n n n εεε→∞→∞→∞→∞==<=⎛⎫+++= ⎪-⎝⎭
⎛⎫++= ⎪+⎝⎭
+∀-=<-- A A A 不妨设要使只需证>0,<1,3
11
3,211313
313
3,
,
,lim
.
2232
232
1
(2),
,,
n n n N n N n n n ε
εεεεεε→∞>
+++⎡⎤=+>-<=⎢⎥--⎣⎦
∀<>
取当时故>0,ε
0.1
0.010.001
0.0001N
18
198
1998
19998
32222333331,
.
1
(3)||(0).41||(1)(1)(2)(1)126
6242424,,max{4,}.(1)(2)!111(4)
,,.11(5)1223n
n
n
n N n N
q n n
n n q n n n n n n n n N n n n n n N n n εεαααααααεααεαεαεεε⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦
=
>>+==---++++++⎡⎤
<<<>=⎢⎥--⎣⎦
⎡⎤≤<>=⎢⎥⎣⎦+++ A A
取当时3/23/23/22211
(1)1111111111,,.
1223(1)1111(6)
,,.(1)(2)(1)5.lim 0,{},,||(1,2,
),
lim n n n
n n n n
n N n n n n n N n n n a b M b M n εεεεεε→∞
⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-+-++--=<>= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭
⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎡⎤++≤<<>=⎢⎥++⎣⎦
=<=A 设是有界数列即存在常数使得证明22
22220.
0,,
||,||||||,
lim 0.
6. 1.
0,11,
1.
(1)24444,1,,.(1)(1)(1)12
7.
:
(1)l n
n n n n n n n n n n
n
n a b N a a b a b M M
M a b n
n n n N n n n n n n ε
ε
εεεεεεεεεεεεε→∞
→∞=∀>∃<
=≤
===∀>-<<+⎡⎤
=<<<>=⎢⎥-+-⎣⎦
++A 正整数使得故证明要使而只需求下列各极限的值证 证32232244
432
220.310013/100/1(2)lim lim .4241/2/4(210)(210/)(3)lim lim 16.11/11(4)lim 1lim 1.n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n e n n →∞→∞→∞→∞→∞---→∞
→∞==+-+-==-+-+++==++⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
211
11(5)lim 1lim 11111111
.11lim 1lim 1111111(6)lim 1lim 1,(,1),,,1101n
n n n n n n n n n n
n n n n n n e n n q N n N q
n n e n n -→∞
→∞-→∞
→∞→∞→∞⎛⎫
-= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛
⎫++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
-=-∈∃>-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎛⎫<-⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦取当时2
211,lim 0,lim 10,lim 10.
1111(7)lim 1lim 1lim 1 1.n
n
n n n n
n n n n
n
n
n n n q q n n e n n n e →∞→∞→∞
→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫<=-=-=⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎥⎢⎥⎣⎦
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A 即1222
1212218.1111(1),,12(1)111
12 2.12(1)1111
(2),,
21212121
1111111111
21222222221n n n n n n n n n n n n n
n n n x x x x n n x x n n n x x x x x +++-=+++=+>+<+++=-<-=+++=+>++++-⎛⎫=+++=++++= ⎪⎝⎭ A A 利用单调有界序列有极限证明下列序列极限的存在性:
单调增加有上界，故有极限.
111 1.
1
2
111111(3).0,1222122
,0,111
(4)11.0,2!!(1)!
1111
11213 3.
2231n n n n n n n n n n n n n x x x x n n n n n n n x x x x x x x n n x n n n x +++<-=
+++-=-=-<++++++<>=++
++-=>+⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
单调增加有上界，故有极限.
单调减少有下界，故有极限.
单调增加有上界，故11lim 11.
2!!n e n →∞⎛
⎫++++ ⎪⎝
⎭ 有极限.
9.证明=
211(1)1(1)(1)1112!!(1)(1)1!111111112111112!!!1111111.lim 1lim 112!!2!!n
k
n
n
n n n n n n n k n n n n k n n n n n n n k n n k n n n n n e n n n →∞→∞---+⎛⎫
+=+++++ ⎪⎝⎭
--++
--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫<++++=+≤++++ ⎪⎝⎭ A A 证1.
,
11111112111,
2!!1111,
2!!1111lim 11lim 11.2!!2!!10.:||||,1,2,,
n
k n n n k n k k n n k n n n e k e k n x k x n →∞→∞+⎛
⎫ ⎪⎝
⎭>-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛
⎫→∞≥++++ ⎪⎝
⎭⎛⎫⎛
⎫≥++++=++++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤= 对于固定的正整数,由上式,当时令得设满足下列条件其中是小于211111.
lim 0.
||||||||0(),lim 0.
n n n n n n n n x x k x k x k x n x →∞
-+-→∞
=≤≤≤→→∞= 的正数证明由得证。