第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。

解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。

2而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y tx x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x此即为所求的圆柱面的方程。

4、已知柱面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X S ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：S v u Y x +=)(与⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。

证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则，S v M M ='即1、求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程。

解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：zZ y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程。

2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。

解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：221133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程，并消去t 得：044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x此为要求的锥面方程。

4、求对锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与顶点O 的母线为：zZ y Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去t 得：0=++zx yz xy此即为要求的圆锥面的方程。

5、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。

解：轴线的方程为：142221-=-=-z y x 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x即： 01122=-++z y x 该平面与轴的交点为)937,920,911(，它与)1,2,3(的距离为： 3116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d∴要求圆锥面的准线为：的径矢为{}0000,,z y x =γ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：0()(1)v u v γγγ=+-与000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z=+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩式中，v u ,为参数。

证明：对锥面上任一点),,(z y x M ，令OM γ=，它与顶点A 的连线交准线于((),(),())M x u y u z u '=，即OM ()u γ'=。

//AM AM '，且0AM '≠（顶点不在准线上） AM vAM '∴=即00(())v u γγγγ-=- 亦即0()(1)v u v γγγ=+-此为锥面的矢量式参数方程。

若将矢量式参数方程用分量表示，即：000{,,}{(),(),()}(1){,,}x y z v x u y u z u v x y z =+-⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=∴000)1()()1()()1()(zv u vz z y v u vy y x v u vx x 此为锥面的坐标式参数方程，v u ,为参数。

§ 4.3旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程：（1）；111112x y z -+-==-绕1112x y z -==-旋转 （2）；1211x y z -==-绕1112x y z -==-旋转 （3）1133x y z -==-绕z 轴旋转；（4）空间曲线2221z xx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩绕z 轴旋转。

解：（1）设1111(,,)M x y z 是母线111112x y z -+-==-上任一点，过1M 的纬圆为：111222222111()()2()0(1)(1)(1)(2)x x y y z z x y z x y z ---+-=⎧⎨++-=++-⎩因1M 在母线上， 1111211x y z -∴==- (3) 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：2225523122424242446230x y z xy yz xz x y z ++--+-+-+=此为所求的旋转面的方程。

（3）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过该点的纬圆为：1222222111(1)(2)z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩又1M 在母线上，所以：1111133x y z -==- （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：2229()10690x y z z +---=此为所求的旋转面方程。

（4）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：1222222111(1)(2)z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩又1M 在母线上，所以2112211(1)1(2)z x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：221x y +=211101z z x z ==≤∴≤≤即旋转面的方程为：221x y += (01)z ≤≤2、将直线01xy zβα-==绕z 轴旋转，求这旋转面的方程，并就,αβ可能的值讨论这是什么曲面？解：先求旋转面的方程式：z任取母线上一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：1222222111(1)(2)z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩又11101x y z βα-== （3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：222220x y z αβ+--=此即为所求旋转面的方程。

当0,0αβ=≠时，旋转面为圆柱面（以z 轴为轴）；当0,0αβ≠=时，旋转面为圆锥面（以z 轴为轴，顶点在原点）； 当,0αβ≠时，旋转面变为z 轴；当0,0αβ=≠时，旋转面为单叶旋转双曲面。

3、已知曲线Γ的参数方程为(),(),()x x u y y u z z u ===，将曲线Γ绕z 轴旋转，求旋转曲面的参数方程。

解：如图，设((),(),())M x u y u z u 为Γ上任一点，则对经过M 的纬圆上任一点(,,)p x y z ，§4.4椭球面1、做出平面20x -=与椭球面22221494x y z ++=的交线的图形。

解：平面20x -=与椭球面22221494x y z ++=的交线为： 2239442y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ ，即 2212734y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪ ——椭 图形为y2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面4x =的距离的一半，试求此动点的轨迹。

解：设动点(,,)M x y z ，要求的轨迹为∑，则条两两相互垂直的射线，分别交曲面123,,p p p ，设112233,,op r op r op r ===，试证：222222123111111r r r a b c++=++ 证明：利用上题结果，有22222221(1,2,3)i i i i i r a b cλμν=++=其中,,i i i λμν是i op 的方向余弦。

若将(1,2,3)i op i =所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则123,,λλλ是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦，从而2221231λλλ++=，同理，2221231μμμ++=，2221231ννν++= 所以，222222222123123123222222123222111111()()()111r r r a b c a b c λλλμμμννν++=++++++++=++即：222222123111111r r r a b c ++=++ 5、一直线分别交坐标面,,yoz zox xoy 于三点,,A B C ，当直线变动时，直线上的三定点,,A B C 也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点p ，它与三点的距离分别为,,a b c ，当直线按照这样的规定（即保持,,A B C 分别在三坐标面上）变动，试求p 点的轨迹。

解：设112233(0,,),(,0,),(,,0)A y z B x z C x y ，则知：2121331221,x z z yx y z z z z ==--z z21211221(,,0)x z z yC z z z z ∴-- 又设(,,)p x y z ，,,pA a pB b pC c ===222211222222222221211221()()(1)()()(2)()()(3)x y y z z a x x y z z b x z z yx y z c z z z z ⎧⎪+-+-=⎪⎪-++-=⎨⎪⎪-+-+=--⎪⎩又p 在AB 的连线上，111121y y z z x x y z z --∴==--（4） 从（1）——（4）消去1122,,,y z x z ，得到即：22222(1)1a a b cλ-=-2222222ac b c b aλ-=⋅- λ∴=满足要求的平2、给定方程2221(0)x y z A B C A B C λλλ++=>>>--- 试问当λ取异于,,A B C 的各种数值时，它表示怎样的曲面？解：对方程2221(0)x y z A B C A B C λλλ++=>>>--- （*） 1º、当A λ>时，（*）不表示任何实图形； 2º、当A B λ>>时，（*）表示双叶双曲面； 3º、当B C λ>>时，（*）表示单叶双曲面； 4º、当C λ<时，（*）表示椭球面。