第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知()()0ˆHU r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即()2004ze U r rπε=-()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为()204ze U r rπε=-在0r r <的区域, ()U r 可由下式()r U r e Edr ∞=-⎰其中电场为()()30233000002014,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε⎧=≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩则有:()()()()22320002222222000330000001443848r rr r rr U r e Edr e EdrZe Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞∞=--=--=---=--≤⎰⎰⎰⎰因此有微扰哈密顿量为()()()()222200300031ˆ220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ⎧⎛⎫--+≤⎪ ⎪'=-=⎨⎝⎭⎪>⎩其中s e =类氢原子基态的一级波函数为()(321001000003202exp 2Zra R Y Z a Zr a Z ea ψ-==-⎫=⎪⎭按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为()()()00*00111110010032222222000000ˆ131sin 4422Zrr a s s E H Hd Ze Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτϕθθπ-''==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰00322222430000031422ZrZr Zr r r r a a a s Z Ze e r dr e r dr erdr a r r ---⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 完成上面的积分,需要作作三个形如0b m y y e dy -⎰的积分,用分部积分法,得00002220002222000000022112222Zr Zr r a a y Zr Zr a a a erdr ye dyZ a Zr a a a e e r Z a Z Z Z ----⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-=-++⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰⎰00002222332200000002322000000222222222222Zr Zr Zrr a a a y Zr a a a Zr Zr er dr y e dy e Z Z a a a a a a er r Z Z Z Z ----⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥==-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰0000225440002500000000040002222224242412422424222Zr Zrr a a y Zr a a er dr y e dyZ a Zr Zr Zr Zr e Z a a a a a a a Z Z Z ---⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥ ⎪=+--+++ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰0002325234000000025234432000000000023412424222233324222Zr a Zr a a a a r r r r e Z Z Z a a a a a a r r r r e Z Z Z Z Z Z --⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭我们可以计算11E ,0000003232122000010020025234432000000000032340203422222233312422222Zr a s Zr a Zr a a a a a Z E Ze e r r a r Z Z Z Z a a a a a a r r r r e r Z Z Z Z Z Z a e Z ---⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=--+++⎢⎥⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-- ⎝00200022222000223230000022333332222Zr a ssa a r Z Z a a a Z Ze e Ze r Zr Z r r Z r a -⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪++⎢⎥⎬⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎣⎦⎭⎛⎫⎛⎫=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.氢原子的半径约为13~10r cm -, 而80~10aa cm Z -=.所以有5213510821010~110r a r e e a ------=≈≈ 于是022223222212522001003333000004314311222232525rrs s s s s a s Ze Ze Ze r Ze Ze r r E er dr r Ze r a r r r a r r a -⎡⎤⎛⎫⎡⎤=--+=-++=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰这就是基态能量的一级修正.而准确到一级近似的能量为()()222222222000011113220024411252525s s s s Ze Ze r Ze r Z e Z r E EEa a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.2 转动惯量为I ，电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。

解: 自由空间转子的能级和波函数为()()20012l l lm l l E Y Iψ+==对于基态0000E Y ψ===我们选外加电场E 的方向沿球极坐标的极轴方向(即z 轴的正向),则微扰哈密顿算符为ˆcos H D θ'=-⋅=-D E E 据此我们求出有用的矩阵元(对基态)()**000*1010'cos l lm lm l m H Y Y d Y d Y Y d D D D ΩθΩΩδθε====---⎰⎰E E上面用到θπcos 4310=Y 及球谐函数的正交性 *''lm l m ll mm YY d Ωδδ''=⎰从上面的计算式可见,微扰矩阵元只有10H '=其余为零.故 10000E H '==即基态能级的一级修正为零.基态能量的二级修正为()()22221002000002001'32l ll H H I E D E E E E I''====----∑ E 5.3 设一体系未受微扰作用时只有两个能级: 01E 及02E ,现在受到微扰ˆH '的作用,微扰矩阵元为11221221,H H b H H a ''''====;a ,b 都是实数.用微扰公式求能量的二级修正值. 解: 哈密顿矩阵为:010*******E ba Eb a H a E b E a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 微扰哈密顿矩阵元为: 11221221,H H b H H a ''''==== 代入能量的二级近似公式 ()2000'nmn nnnmn mH E E H E E '=++-∑则 ()()()()()()2200112200001221a a E E b E E b E E E E =++=++--即2210120201020201a a E Eb E E b E E E E =++=++--5.4 设在0t =时,氢原子处于基态,以后由于受到单色光的照射而电离.设单色光的电场近似地以平面波表示为sin t ωE ,E 及ω均为常量;电离后电子的波函数近似地以平面波表示.求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁电离态的几率.解: (1)当电离后的电子动能为零时,这时对应的单色光的频率最小,其值为4min min 124min 322s se h E E e μωνμω∞==-==(2) 0t =时, 氢原子处于基态003211000012rra a k R Y e a ψψ--⎫===⎪⎭ 在t 时刻, 处于电离态()3212p r im eψψπ⋅∞==微扰()()()ˆ2ˆsin i t i t i t i t e Ht e e e i Fe e t ωωωωω--⋅'=⋅-=-=r r E E其中ˆ2r e Fi⋅=E 在t 时刻跃迁到电离态的几率为()()()()()()()2111mk mk mk mk mk k m m ti t m mk t i t i t mk i t i t mk mk mk W a t a t H e dt i F e e dt i F e e ωωωωωωωωωωωωω→'''+-+-=''='=-⎛⎫--=-- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎰⎰ 对于吸收跃迁情况,上式起主要作用的第二项,故不考虑第一项,()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222222222111mk mk mk mk mk mk mk mk mk i t mk m mk i ti tmk k m m mk i ti ti ti ti ti tmk mk F e a t e eF W a t eeF eeeeωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω----→----------=---==---=-()()()()()()()()()()()()222222222222222222422422sin 42mk mk mk mk mk mk mk mk i ti ti ti tmkmk i t i ti t i tmkmk mkmkmk e e e e F iie e e e F i i t F ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-其中()00*321ˆ222p r p r r r ri a mk mk r ia e F F d ed ie ee d i ψψττπτ⋅--⋅--⋅⎛== ⎝⋅⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰E E取电子电离后的动量方向为Z 方向,取E ,p 所在平面为xoz 面,()()()()sin cos sin cos cos sin sin cos cos cos r x y z x y zr r r r θϕααθαθϕαθ⋅=++=+=+E E E E E E E E ()()()000cos 22000cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin s ri a mk ri a rpr i a pr i F e e d e e d r r e e r dr d d r r e r θππθτταθϕαθθθϕαθϕαθα⋅--⋅---∞--=⋅=+=+=⎰⎰p rp rr E E E E E E ()()()000022000cos 22000cos 300cos 3sin cos in sin cos cos cos cos sin cos si ra rpr i a rpr i a rpr ia e r dr d d e e r dr d d r e e drd r r edr eππθππθπθθθϕϕθθθϕαθθαθθθ-∞-∞--∞---==⎰⎰⎰⎰⎰E E E ()cos 323n cos sin r pr ia rpr pr pr pra i i i i d r edr ed i r edr e e e e pr pr πθπθθθθθ∞-∞--∞--=⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+⎢⎥ ⎪+-⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰E322027222a a a ==⎝⎭== E E E E 所以 ()()()()()2222275220262222220sin sin 4128cos 22mkmk mkk m mk mk t t F p e a W a p ωωωωαωωωωπ→⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--+ E 5.5 基态氢原子处于平行板电场中,若电场是均匀的且随时间按指数下降,即()0when 0when 000t t t eττ-≤≥⎧⎪=⎨≥⎪⎩E E求经过长时间后氢原子处在p 2态的几率.解: 设电场E 沿z 方向,则微扰哈密顿为00ˆcos t t H e e ze e r e ττθ--'=⋅==r E E E 按照微扰论,由状态k 跃迁到状态n 的几率决定于()2n a t 而 ()01n k ti t n nka t H e dt i ω''=⎰ 因此,要求得()n a t ,必须先算出nkH '. 现在初态为氢原子基态(即1S 态) 而1001000ra R Y ψ-== 而终态是简并的,有三个态. 即3221021100012r R Y e a a ψθ⎛⎫==⎪⎭3221121110012i r R Y e e a a ϕψθ⎫==⎪⎭3221121110012i r R Y e e a a ϕψθ---⎛⎫==⎪⎭ 因而有()0*210100210,100332110100021103332224005800cos cos 1122243ra z r d R R r dr Y Y d R R r dre r dra a a ψθψτθΩ∞∞-==⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎭⎭⎫==⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰!()211,100z 及()211,100z -均为零,这是因为对ϕ的积分为零.由此可见,这样的电场作用下,跃迁只发生在从基态(1S)到210ψ态()2,1,0n l m ===,跃迁几率为2210a而: ()212121212118821000018882121012t t t i t i t i ti tti t i t e a t e e dt e dt i e e e a i edt e dt ωωττωωωωωτ⎛⎫''-+- ⎪'⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭'+ ⎪''⎝⎭''==⎛⎫'''===+ ⎪⎝⎭⎰ E E E E E当t τ>>, 211lim 0i t t eω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭→∞=所以,长时间后82102e a a =E所以 ()1522222210001022221231a e a τωτ=+E 5.6 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率. 解: 从n 到k 的每秒自发跃迁几率,由公式()32222223334433s s n k n knk nk nk nk nke e E E A x y z c c ω→-⎛⎫==++ ⎪⎝⎭r关键在于求矩阵元,,nk nk nk x y z .我们的初态是第一激发态,有一个单态势2S 态()200ψ和三重态2P 态()210211211,,ψψψ-. 由选择定则1l ∆=±, 知21S S →是禁戒的, 故只需要计算21P S →的几率.(1) 计算矩阵元nk z()321101000210,1000cos z R R r dr Y Y d θΩ∞==⎰⎰ 注:10Y θ=,00Y = 其中03332223421100005000000112224!3ra J R R r dr e r dra a a ∞-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭⎫=====⎪⎭⎰⎰而 ()**11001110211,100cos 0z J Y Y d Y Y d θΩΩ===⎰ ()*1110211,1000z Y Y d Ω-== 所以 10222210123233z J a ⎛⎫== ⎪⎝⎭(2) 计算矩阵元nk x考虑到 ()sin cos sin 2i i rx r e e ϕϕθϕθ-==+及111100i i Y e Y e Y ϕϕθθ--===和球谐函数的正交性.()()()()*1000210,100*10111100*1011111sin 212102i i x J Y e e Y d Y Y Y Y d Y Y Y d ϕϕθΩΩΩ---=+=+=+=⎰()()()*1100211,100*1111111sin 212i i x J Y e e Y d Y Y Y d ϕϕθΩΩ--=+=+=⎰()()()*1100211,100*1111111sin 212i i x J Y e e Y d Y Y Y d ϕϕθΩΩ-----=+=+=⎰所以 222221211,100211,10013x x x J -=+=(3) 计算矩阵元nk y 考虑到 ()sin sin sin 2i i r y r e e iϕϕθθϕ-==- 与上面相仿,计算得 ()()()210,100211,100211,1000y y y -===所以 222113y J =所以 152222222,12121210923x y z J a =++==r(4) 求2121n k p s A A A →→→==将44221212220132228s s s e e e E E a μμω⎛⎫-==-+=⎪⎝⎭, 其中202s a e μ= 及22,1r 代入一开始写出的那个公式,得310223221015158322221212100039339763041284223223333833s s s s s p se e e e e A a a a c c c a c ωμω→⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5.7 计算由氢原子处在2p 态跃迁到s 1态时所发出的光谱线强度. 解: 从2p 跃迁到1s 时的发出的光谱线强度,由公式2122121p s p p s J N A ω→→=2p N 是为处于2p 态的氢原子数.由上题知1082176323sp s e A c μ→= , 221038s e a ω= , 202s a e μ=则有:1010322422212102122121202123310210210221485552222763663663226830012812822332322238333s s p sp p s p p s s s s s s s p p p p s e e a J N A N a N c c e e e e e e eN N N N c a c a c e cωωωωμμμμμ→→⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====5.8 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则.解: 电偶极矩为x ex =D e 的线性谐振子,在电场0cos x t ω=e E E 作用下,即在微扰势0ˆcos H ex t ω'=-⋅=-D E E 作用下,从k ψ到nψ的每秒跃迁几率为 ()22202k n nk n k e W x E E πδω→=--E跃迁选择定则,即0≠nk x 的条件, 而()()()()()()222112221nk n k n knk n kn k x x x x dx N N H eH e dx N N e H H d ξξξξψψξξαξξξξα∞∞---∞-∞∞--∞===⎰⎰⎰ 式中xξαα==根据厄密多项式的递推公式 1122k k k H H kH ξ+-=+和厄密多项式的正交性 ()()2n k nk e H H d ξξξξδ∞--∞=⎰则()()()()()()()2221121122,1,11122nk n k n k k n kn kn k n k n k n k x N N e H H kH d N N kN N eH H d e H H d A B ξξξξξξξαξξξξξξααδδ∞-+--∞∞∞--+--∞-∞+-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=+=+⎰⎰⎰式中,A B 两个与x 无关的常数.可见只有当1n k =+和1n k =-时,亦即1n n k ∆=-=±时, nk x 才不为零,即线性谐振子的偶极跃迁只发生在相邻能级之间.利用狄拉克符号解此题更容易.已知:12†ˆˆˆ()2x a a μω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12†1122††12,1,1ˆˆ()2ˆˆˆˆ()221121n k n k n k x n x k n x k n aa k n a a k n a k n a k k k μωμωμωμωα-+⎛⎫===+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+=+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎤=-+ ⎪⎦⎝⎭⎤=⎥⎦只有当1n k =+和1n k =-时,亦即1n n k ∆=-=±时, nk x 才不为零,即线性谐振子的偶极跃迁只发生在相邻能级之间.。