第四节分式方程及应用-学而思培优第四节分式方程及应用
一、课标导航
本节内容主要包括分式方程的定义、解法和应用。
二、核心纲要
1.分式方程
分母中含有未知数的方程叫分式方程。
2.解分式方程的基本思想
将分式方程转化为整式方程。
3.解分式方程的一般步骤
1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
2) 解这个整式方程。
3) 验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零。
如果最简公分母等于零的根是原方程的增根，则必须舍去。
但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
4.分式方程无解的原因
1) 将分式方程化为整式方程后，整式方程无解。
2) 解出的整式方程的根是增根。
5.用换元法解分式方程的一般步骤
1) 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式。
2) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值。
3) 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值。
4) 检验作答，要检验求得的解是否为原方程的根，是否符合题意。
本节重点讲解：一个概念，一个解法，一个应用（列分式方程解应用题）。
三、全能突破
基础演练
1.下列各式中，不是分式方程的是(。
)。
A。
1/(x-1) + 1/(1-x) = 1
B。
(x-1) + x = 1
C。
x/(x+1) + (x^2-x)/3 = 2
D。
[(x-1)-1] = 1
2.分式方程 (11/(4x-12)) + (1/(x+3)) = 2 的解是(。
)。
A。
x = 2
B。
x = -2
C。
x = 3
D。
无解
3.关于 x 的方程 (1/5) + (2/x) = (3/x-3) 的解是(。
)。
A。
3
B。
-3
C。
±3
D。
无法确定
4.一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为 x 千米/时，则可列方程(。
)。
A。
100/(x+30) + 60/(30-x) = 4
B。
100/(30-x) + 60/(x+30) = 4
C。
100/(x-30) + 60/(30+x) = 4
D。
100/(30+x) + 60/(x-30) = 4
5.一辆汽车往返于相距 a 千米的甲、乙两地，去时每小时
行 m 千米，返回时每小时行 n 千米，则往返一次所用的时间
是 h。
6.解方程。
1) (5x+3)/(23x-3) = 2;
2) (2x-1)/(x^2-x-1) - (2x+1)/(x^2+x-1) = 1.
7.一个实际问题，根据题意列出的方程是：（需要自己编写）
本节内容主要讲解分式方程的定义、解法和应用。
解分式方程的基本思想是将其转化为整式方程，解法包括一般步骤和换元法。
对于含有字母系数的分式方程，一般不要求验根。
分式方程无解的原因可能是将其化为整式方程后，整式方程无解，或者解出的整式方程的根是增根。
基础演练包括不是分式方程、解分式方程、列方程解应用题、解方程等类型的题目。
1.某商场有一部自动扶梯以匀速度v1运行，人上楼梯的步行平均速度为v
2.若物体由扶梯从一层到二层的时间为t，则人带着物体由一层到二层由扶梯走着上去的时间为
t1=t*(v1+v2)/v1.
2.解关于x的方程x-1/(x-2)=m+2无解，则m的值为-1.
3.解关于x的方程3-2x^2+mx/(x-3)-x=-1无解，则m的值为2.
4.若方程x-ac/(b-xd)=1有解，则必须满足条件b≠xd。
5.解关于x的方程a-2/(x-2)=a-2/(2-x)有无穷多个解，则a 的值有无穷多个。
6.解关于x的方程2x+a/(x-1)=1的解是正数，则a的取值范围是a>-1.
7.解下列分式方程：
1) (6y+12y^2-4)/(y+4)(y-4)=2；
2) (2/x^2-2)+(2/x+2)+(2/x-5)+(2/x+3)=1111；
3) (1/x^2-2)+(1/x+7)+(1/x-3)+(1/x+6)=1；
4) (1/a)+(1/b)=(1/a+b)x。
8.若ab≠0，且有种运算ab=113，则根据上述运算解方程1(x-1)=(a/b)^2(x-2)。
9.根据已知规律，关于x的方程x+1=5+的解是x5=5，关于x的方程x+=n+的解是xn=n，关于x的方程x-=m-的解是xm=m。
10.解甲、乙两个工程队共同完成一项工程的时间问题：乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的2倍。
设乙队单独完成工程所需的天数为x，则甲队单独完成工程所需的天数为2x，由此可列出方程：1/x+2/(2x+x/2)=1，解得x=4，即乙队单独完成工程需要4天，甲队单独完成工程需要8天，两队合作完成工程需要2天。
3.一艘轮船顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了
7小时；另一次航行中，顺流航行40千米，逆流航行70千米，用相同的时间。
求轮船在静水中的速度和水流速度。
解析：设轮船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度
为y千米/小时。
根据题意，可以列出如下方程组：
80/(x+y) + 42/(x-y) = 7
40/(x+y) + 70/(x-y) = 7
将两个方程相减，消去y，得到：
40/x - 42/(x^2 - y^2) = 0
化简得到：
x^2 - y^2 = 1056
将y代入第一个方程，解得x=16.再将x代入第一个方程，解得y=8.因此，轮船在静水中的速度为16千米/小时，水流速
度为8千米/小时。
20.XXX距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均
每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的3/4.小王用自驾车方式上班
平均每小时行驶多少千米？
解析：设小王用自驾车的速度为x千米/小时，用公交车
的速度为y千米/小时。
根据题意，可以列出如下方程组：y = 2x + 9
18/x - 18/y = (3/4)t
其中t为XXX从家到上班地点所用的时间。
将第一个方
程代入第二个方程，得到：
18/x - 18/(2x+9) = (3/4)t
化简得到：
x = 36/t
将x代入第一个方程，解得y=81/t+9/2.将y代入第二个方程，解得t=4小时。
因此，小王用自驾车方式上班平均每小时
行驶9千米。
23.若分式方程：2/(x+1) + 3/(x-2) = (7x-1)/(x^2-x-2) 有增根，则k=？
解析：将分式方程通分，得到：
2x-3)/(x^2-x-2) = (7x-1)/(x^2-x-2)
化简得到：
2x-3 = 7x-1
解得x=1.将x=1代入原分式方程，得到：
k = -1/3
因此，k=-1/3.
25.一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年
的平均滞尘量的2倍少4毫克，一年滞尘1000毫克所需的银
杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同。
求一片国槐树叶一年的平均滞尘量。
解析：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克。
根据题意，可以列出如下方程组：
x = (1/2)(x+4)
1000/x = 550/(x+4)
将第一个方程解得x=8.代入第二个方程，解得x=22.因此，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克。
已知方程组：
begin{cases}
2a-3x+1=0 \\
3b-2x-16=0 \\
a\leq 4 < b
end{cases}
问在什么条件下，方程组有解。
首先，将第一个方程变形得到 $x=\frac{2a+1}{3}$，将第
二个方程变形得到 $x=\frac{3b-16}{2}$，因为 $a\leq 4 < b$，
所以有：
frac{2a+1}{3} \leq \frac{3b-16}{2}
化简得到 $4a+2\leq 9b$，即 $9b-4a\geq 2$。
接下来，考虑 $x^2+2=0$ 的解。
将 $x^2+2=0$ 移项得到$x^2=-2$，因为 $x^2\geq 0$，所以 $x$ 没有实数解。
综上所述，当 $9b-4a<2$ 时，方程组无解；当 $9b-4a\geq 2$ 时，方程组有解，但 $x^2+2=0$ 无实数解。