分式复习知识点复习1. 分式的概念（1）如果 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有未知字母，那么式子AB叫做分式。

（2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。

2. 分式有意义的条件：分式的分母不能为 0，即AB中， B ≠ 0 时，分式有意义。

3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于A B ，即00A B =⎧⎨≠⎩时，AB = 0 .4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。

A A MB B M ⋅=⋅, A A MB B M÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式） 5. 分式通分（1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母;（3）通分后的各分式的分母相同; （4）通分后的各分式分别与原来的分式相等. 6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母①取各分母系数的最小公倍数。

②凡出现的字母（或含字母的式子）因式都要取。

③相同字母（或含字母的式子）的幂因式取指数最大的。

④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。

（2）将各分式化成相同分母的分式。

7. 分式的约分（1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。

（3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。

8. 分子的变号规则分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。

用式子表示为：a a ab b b -==--；a a a a b b b b---=-==-- 9. 分式的乘除法则乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

10. 分式的乘方：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即na b ⎛⎫⎪⎝⎭=11. 分式的加减（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

a b c c ±= a cb d±== 12. 分式的混合运算原则（1）先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。

（2）同级运算，按运算顺序进行。

（3）运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律。

（4）结果化为最简分式或整式。

bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;13. 整数指数幂(m,n 为整数)(1) m na a ⋅= （2）()nm a= （3）()nab = ，（4）mna a ÷= （a ） （5）na b ⎛⎫⎪⎝⎭=(6) 零指数幂的性质：0a = ( )，负指数幂的性质：na- = ( )引入负整数指数幂后，正整数指数幂的运算法则对负整数指数幂一样适用 14. 分式方程 ：分母中含有未知数的方程叫分式方程。

整式方程 ，如 3x +3 = 4 x -2 分式方程 , 如12123x x =+- 15．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 16. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； ② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值； ④ 检验作答. 17．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 18．易错知识辨析：（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值考点讲解考点 1. 分式的概念和性质例 1代数式中，分式的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例 2（1）已知分式11x x -+ 的值是零，那么 x 的值是______ （2）当 x________时，分式11x - 没有意义．例 3 下列各式从左到右的变形正确的是（ D ）A 、0.20.2a b a b ++=22a b a b ++B 、11x x x y x y +--=--C 、a b a b a b a b +-=-+D 、1212x yx y -+ =22x y x y -+例 4填写出未知的分子或分母：（1）. 例 5把分式22x yx y+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ A ）A ．不变B ．扩大2倍C ．扩大4倍D ．缩小2倍 考点 2：分式的化简与计算 ：例 1 计算24111a aa a++--的结果是________． 例 2 已知 31=-x x ，则221xx + ＝ .例 3（08芜湖）已知，则代数式的值为 .例4 已知,03=-y x 则=++-22223yx y xy x . 例 4 计算2224222a a a a a a ⎛⎫⋅- ⎪+--⎝⎭ 例 5 化简11x x x x -⎛⎫÷- ⎪⎝⎭21,,,13x x ax x x π+2223()11,(2)21()x y x y x y y y +==+-++113x y -=21422x xy y x xy y----考点 3：分式条件求值 ： 例 1（08资阳）（212x x -－2144x x -+）÷222x x -，其中x ＝1．例 2 先化简，再求341651231222+-++-++-x x x x x x 的值，其中x=5例 3 先化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．考点 4：可化为一元一次方程的分式方程、方程的增根。

例 1 以下是方程1211=--xx x 去分母、去括号后的结果，其中正确的是（ C ） A ．112=--x B.112=+-x C.x x 212=+- D.x x 212=-- 例 2 解方程：21133x x x-=---例3 解方程12112-=-x x 会出现的增根是（ A ） A ．1=x B.1-=x C. 1=x 或1-=x D.2=x例 4 若关于x 方程x x x m 2132=--+无解，则m 的值是 221或-=m ． 例 5 若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.例6 若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.例7 若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .考点5：分式方程的应用例 1 某市今年1 月1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12 月份的水费是18 元，而今年5 月份的水费是36 元．已知小明家今年5 月份的用水量比去年12 月份多6 立方米，求该市今年居民用水的价格．例2．在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）施工费用最低？解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，由题意得方程组：24241,1818101x yx y x⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解之得：x=40，y=60．（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成．由（1）知，乙工程队30天完成工程的301 602=，∴甲工程队需施工12÷140=20（天）．最低施工费用为0．6×20＋0．35×30=22.5（万元）．答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；（2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是22.5万元．评析：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数学思维．自我检测1、填空题.（1）使分式234x a x +-的值等于零的条件是_________．x =-2a 且a ≠-83（2）x 时,分式225x x ++ 的值为正数;(3)2)(2b a +，22aa b -最简公分母是2. 下列各分式中，最简分式是( B )A 、()()y x y x +-8534B 、2222xy y x y x ++C 、y x x y +-22D 、()222y x y x +- 3. 下列各式中，从左到右的变形正确的是( B ) A 、y x y x y x y x ---=--+- B 、y x y x y x y x +-=--+- C 、y x y x y x y x -+=--+- D 、yx yx y x y x +--=--+- 4．将分式2x x y+中的x 、y 的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（ A ）A 、扩大2倍；B 、缩小2倍；C 、保持不变；D 、无法确定；5．不改变分式52223x yx y -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（D ）A ．2154x y x y -+ B ．4523x y x y -+ C ．61542x y x y-+ D ．121546x yx y -+6. 某种感冒病毒的直径是0.00000012米，用科学记数法表示为_____________ 米．7．某农场原计划用m 天完成A 公顷的播种任务，如果要提前a 天结束，那么平均每天比原计划要多播种_________ 公顷．()aAm m a -8、工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及 时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72④372=-xx上述所列方程，正确的有（ ）个A 1B 2C 3D 4 9．函数y=2(3)12x x-+--中，自变量x 的取值范围是___________．x ≥-12且x ≠12，x ≠310．计算1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭的结果是_________．-211. 若关于x 的方程mx x +=-133有一个正数解，求m 的取值范围3,1-≠-<m m ． 12.5-13. 已知5210732-+-=+-x Bx A x x x ，则A= ，B= ． 14. 若分式方程()1516-+=-x x x x 有增根，则增根是（ A ） A. x ＝1 B. x ＝1和x ＝0 C. x ＝0 D. 无法确定15、若方程xx x a x 4)2(23+-=-有增根，则a= 6 8 16. 已知ba b a +=+111，则b a a b +的值为（ C ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、017.（2013•日照）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项 工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A.8B.7C.6D.518.（1）()22226993671025x x x x x x x x x -+-+÷⋅---+- （2）2233a b a ba b a a b a a ⎡+⎤-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦（3）222321a b a b a ab b ab a ab a b ⎛⎫-⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭ （4）3223232222214⎪⎭⎫ ⎝⎛+•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-x x x x x x x x x x(5) (3-π)0 +（－y x 2）2·（－x y 2）3÷（－xy ）-419. 解方程:23222x x x -=+-21.某一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？22.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。