第二章 平面裂纹问题的复变函数解法第1节 绪论如果二元实变函数()y x U ,在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯（Laplace ）方程02=∇U⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∇22222y x则称()y x U ,为区域D 内的调和函数。

弹性力学的分析表明, 平面问题可以归结为求解满足双调和方程022=∇∇U 的应力函数U ，并使其在边界上满足全部边界条件。

双调和方程022=∇∇U 的解U 为双调和函数。

在数学中，复变解析函数的实部和虚部均为调和函数(满足02=∇U )。

而利用复变解析函数来讨论含孔、裂纹等结构的平面问题比较方便。

1．复变函数的基础知识复数a ib + 1-=i 为虚单位复变数（量）iy x z += 实变数x 和y 分别称为复变数z 的实部和虚部，记为：z x Re =，z y Im =则有：z i z z Im Re += (2-1-1) z 的极坐标形式为()θθsin cos i r z +=θi re =z 的共轭复数()θθθi re i r iy x z -=-=-=sin cos复变函数以复变量iy x z +=为自变量的函数, 称为复变函数。

复变函数也可以看成是由它的实部f Re 和虚部f Im 所组成，有：()Re Im f z f i f p iq =+=+()iq p f i f z f -=-=Im Re (2-1-2)例如 ()()22222y ixy x iy x z z f -+=+==则有 22Re y x f p -==，xy f q 2Im ==几何上，可以将函数()z f 看成复数平面z 上的点),(y x 到另一复数平面W 上的点),(q p 的变换, 变换关系如图2-1-1所示。

p(p,q)q W0 0y z (x,y)图2-1-1 复数平面变换图复变函数的导数设复变函数)(z f 在某一点的领域内有定义，取z ∆为复值增量，若()()zz f z z f Lim z ∆-∆+→∆0 (2-1-3) 极限存在，则)(z f 在点z 处可导，并记为()z f '，即()z f '为)(z f 在点z 处的导数。

注意在复变函数可导的定义中，0→∆z 的方式应该是任意的，定义式（2-1-3）极限值存在的要求与0→∆z 的方式无关。

复变函数)(z f 的实部f Re 和虚部f Im 对x ，y 足够高阶的偏导数，还不能说明极限式（2-1-3）一定存在。

例如33Im Re )(iy x f i f z f +=+=若取x z ∆=∆，则()()()x iy x iy x x Lim z z f z z f Lim x z ∆--+∆+=∆-∆+→∆→∆333300 ()23220330333x xx x x xx Lim x x x x Lim x x =∆∆+∆+∆=∆-∆+=→∆→∆ 若取y i z ∆=∆，则()()()233003y y i iy y y i Lim z z f z z f Lim y z =∆-∆+=∆-∆+→∆→∆ 可见，当z ∆取不同值时，（2-1-3）式所示的极限并不相等，说明此极限并不存在。

由复变函数可导定义的这一特点出发，可导出复变函数可导的充分与必要条件。

设f Re 和f Im 在区域D 内有对y x ,的一阶连续偏导数，则函数()z f 在D 内一点z 处可导的充分与必要条件为y f x f ∂∂=∂∂Im Re （2-1-4） yf x f ∂∂-=∂∂Re Im （2-1-5） 这一条件称为柯西—黎曼（Cauchy —Riemann ）条件。

事实上，若取x z ∆=∆，则有()()()xf i x f z z f z z f Lim z f z ∂∂+∂∂=∆-∆+=→∆Im Re '0 （2-1-6） 证明：设 ()f z p iq =+ （Re Im p fq f ==）0=∆y ，x z ∆=∆()()()xiy x f x iy x f Lim z f z ∆+-∆++=→∆0' ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆+-∆∆++∆+=→∆x y x iq y x p x y x x iq y x x p Lim z ,,,,0 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆-∆++∆-∆+=→∆x y x iq y x x iq x y x p y x x p Lim z ,,,,0 ()()()()xy x q y x x q Lim i x y x p y x x p Limz z ∆-∆++∆-∆+=→∆→∆,,,,00 x q i x p ∂∂+∂∂= 再取y i z ∆=∆，有()()()yf i y f z z f z z f Lim z f z ∂∂-∂∂=∆-∆+=→∆Re Im '0 （2-1-7） 为使导数存在，上述两个极限必须相等，即得（2-1-4）、（2-1-5），由此证明了必要条件，充分条件证明从略。

由（2-1-6）、（2-1-7）两式，可以直接得到复变函数对z 的导数的实部和虚部与复变解析函数的实部和虚部对x ，y 的偏导数之间的以下重要关系： y f x f f ∂∂=∂∂=Im Re 'Re （2-1-8） yf x f f ∂∂-=∂∂=Re Im 'Im （2-1-9） 解析函数xf i x f ∂∂+∂∂=Im Re在iy x z +=平面的域D 中，函数()z f 称为解析的需要满足以下条件，即在域D 内任意一点，可用极限方法决定其导数，而且导数是唯一的，与z ∆趋于零的路线无关。

换句话说，如果函数()z f 在0z 及0z 的领域内处处可导，则称()z f 在0z 解析，如果()z f 在区域D 内的每一点解析，则称()z f 为D 内的解析函数。

如果()z f 在0z 不解析, 那么称0z 为()z f 的奇点。

复变解析函数的调和性如果二元实变函数()y x U ,在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯（Laplace ）方程02=∇U则称()y x U ,为区域D 内的调和函数。

从柯西—黎曼条件出发，可以证明，复变解析函数的实部f Re 和虚部f Im 都满足调和方程，所以都是调和函数。

将（2-1-4）式对x 求偏导，（2-1-5）式对y 求偏导，相加后得：222222Re Im Im Re 0f f f f y x y x x y∂∂∂∂-++=∂∂∂∂∂∂ 有：0Re Re Re 22222=∇=∂∂+∂∂f yf x f 将（2-1-5）式对x 求偏导，（2-1-4）式对y 求偏导，相减后得： 0Im Im Im 22222=∇=∂∂+∂∂f yf x f （2-1-10）将使iq p +构成区域内解析函数的调和函数()y x q ,称为()y x p ,的共轭调和函数。

调和函数与双调和函数之间具有下列关系：1) 若f Re 是一个调和函数，它必然是一个双调和函数。

这是因为若0Re 2=∇f 成立，则0Re 22=∇∇f 必然成立。

2) 若f Re 是一个调和函数，则f x Re ，f y Re ，f r Re 2都是双调和函数(式中极坐标222y x r +=)。

证明：()()f y x f x x f x y x f x Re Re Re Re 222222222∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∇ f y x f x x f x Re Re Re 22∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=f y x f x x f x Re Re Re 22222 'Re 2Re Re 22f f x xf =∇+∂∂= （用到2-1-8式） 222Re 2Re '0x f f ∇∇=∇=（用到下面定理，'f 解析）复变函数的导数与积分若()z f 在区域D 内解析，那么()z f 在D 内存在任意阶导数，且所有的导数都是解析的。

解析函数的导数与积分均为解析函数。

复变函数()z f 对于复变数z 的导数、积分等运算规则与一般实函数的运算规则相同。

取一个复变解析函数()z f =，其一阶导数为()z f -，则()()dzz f d z f =-= ()()dz z f z f ⎰-==类似地，令()z f 为()z f -的一阶导数，()z f '为()z f 的一阶导数，则()()dzz f d z f -= ()()dz z df z f =' 由（2-1-8）、（2-1-9）式可知y f x f f ∂∂=∂∂===-Im Re Re yf x f f ∂∂-=∂∂===-Re Im Im 等等。

2．双调和函数的Muskhelishvili 复应力函数表示可以用两个解析函数表示满足双调和函数022=∇∇U 的解U ，引进P U =∇2，则因为0222=∇∇=∇U P ，P 为调和函数。

设Q 为P 的共轭调和函数，即P 与Q 之间满足柯西—黎曼条件，则 ()()()y x iQ y x P z f ,,+= （2-1-11） 是所讨论区域上的解析函数。

再设()()()()⎰=+=dz z f y x iq y x p z 41,,ϕ （2-1-12） 由解析函数性质可知，()z ϕ也是一个解析函数。

对()y x xp ,和()y x yq ,作用Laplace 算子()xp xp ∂∂=∇22， ()y q yq ∂∂=∇22 （2-1-13） 由（2-1-6）式及（2-1-11）、（2-1-12）式，可得()()()iQ P z f x q i x p z +==∂∂+∂∂=4141'ϕ 由上式及柯西—黎曼条件，可得yq x p P ∂∂=∂∂=41 44p q P x y∂∂==∂∂ 或者 yq x p P ∂∂+∂∂=22（2-1-14） 由（2-1-13）和（2-1-14），得()qy xp P +∇=2 由P U =∇2，有()02=--∇yq xp U令()yq xp U y x p --=,1 （2-1-15） ()y x p ,1是一个调和函数，设调和函数()y x p ,1为解析复变函数()z χ的实部，即 ()()z y x p χRe ,1= （2-1-16） 另利用()()()y x iq y x p z ,,+=ϕ和iy x z -=-的乘积，可得()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+-z z yq xp ϕRe （2-1-17） （反推：()()()z z x iy p iq xp yq ixq iyp ϕ=-+=++-）实部最后，由（2-1-15）、（2-1-16）和（2-1-17）式，得yq xp p U ++=1()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-z z z χϕRe （2-1-18） 由此可见，双调和函数U 可以用两个复变解析函数()z ϕ和()z χ来表示。