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课时提升作业(四十一)一、选择题1.在用数学归纳法证明凸n 边形内角和定理时，第一步应验证( ) (A)n ＝1 时成立 (B)n ＝2 时成立 (C)n ＝3 时成立 (D)n ＝4 时成立2.已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k(k ≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明( ) (A)n ＝k ＋1 时命题成立 (B)n ＝k ＋2 时命题成立 (C)n ＝2k ＋2 时命题成立 (D)n ＝2(k ＋2)时命题成立3.某个命题与正整数n 有关，若n ＝k(k ∈N +)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( ) (A)n ＝6时该命题不成立 (B)n ＝6时该命题成立 (C)n ＝4时该命题不成立 (D)n ＝4时该命题成立4.用数学归纳法证明不等式n 1111127124264-⋯>＋＋＋＋(n ∈N +)成立，其初始值至少应取( )(A)7 (B)8 (C)9 (D)10 5.(2013·宝鸡模拟)用数学归纳法证明：112n 112123n n 1++⋯+=++++⋯++时，由k到k+1左边需增添的项是( ) (A)()2k k 1+ (B)()1k k 1+ (C)()()1k 1k 2++ (D)()()2k 1k 2++6.用数学归纳法证明n 112n 2nnnC C C n +++⋯+＜(n ≥n 0,n 0∈N *)，则n 的最小值等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)47.(2013·南昌模拟)<n+1(n ∈N +)，某同学的证明过程如下：(1)当n=1，不等式成立.(2)假设当n=k(k ≥1,k ∈N +)<k+1，则当n=k+1时，()k 11,=<=++所以当n=k+1时，不等式也成立. 对于上述证法( ) (A)过程全部正确 (B)n=1时验证不正确 (C)归纳假设不正确(D)从n=k 到n=k+1的推理不正确8.(能力挑战题)已知f(n)=(2n+7)·3n +9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N +，f(n)都能被m 整除，则m 的最大值为( ) (A)18 (B)36 (C)48 (D)54 二、填空题9．(2013·洛阳模拟)用数学归纳法证明n 11112321+++⋯+-＜n(n ∈N +,n ＞1)时，第一步应验证的不等式是___________.10.(2013·上海模拟)用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ·1·3·…·(2n-1)，从k 到k+1，左边需要增乘的代数式为______. 11.若数列{a n }的通项公式a n ＝()21n 1+，记c n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算c 1，c 2，c 3的值，推测c n ＝_______.12．已知f(n)=111123n+++⋯+(n ∈N +)，用数学归纳法证明f(2n )>n 2时，f(2k+1)-f(2k )等于________. 三、解答题13.(2013·佛山模拟) 用数学归纳法证明：()()()()222n n 112n (n N ).13352n 12n 122n 1++++⋯+=∈⨯⨯-++ 14.(2013·合肥模拟)设f(x)=2xx 2+,x 1=1,x n =f(x n-1)(n ≥2,n ∈N +). (1)求x 2,x 3,x 4的值.(2)归纳{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明.15.(能力挑战题)设f(n)=1+12+ (1).是否存在关于正整数n 的函数g(n)，使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]对于n ≥2的一切正整数都成立？证明你的结论.答案解析1.【解析】选C.凸多边形至少有三边，所以应验证n ＝3 时成立.2.【解析】选B.因n 是正偶数，故只需证命题对所有正偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选B.3.【解析】选C.由n ＝k(k ∈N +)成立，可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．因而若n ＝4成立，必有n ＝5成立．现知n ＝5不成立，所以n ＝4一定不成立.4.【思路点拨】用等比数列的前n 项和求出不等式的左边，解不等式即可得到初始值.【解析】选B.nn 1111111272112426412--⋯>-＋＋＋＋＝，整理得2n >128，解得n>7，所以初始值至少应取8.5.【解析】选D.左边需添加的式子为()()()()()112.k 1k 2123k 1k 1k 22==+++++⋯++++6.【解析】选C.当n=1时，左边=11C =1，右边=11=1，不等式不成立；当n=2时，左边=1222C C + =3，右边=322=n=3时，左边=7，右边=9，不等式成立，当n=4时，左边=15，右边=524＞16,不等式成立，所以n 的最小值等于3.7.【解析】选D.从n=k 到n=k+1的推理时没有运用归纳假设，因此证明不正确. 8.【思路点拨】先求出当n=1,2,3时f(n)的值，由此猜想m 的最大值，再用数学归纳法证明结论成立.【解析】选B.由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m 的最大值为36.当n=1时，可知猜想成立.假设当n=k(k ≥1,k∈N +)时，猜想成立，即f(k)=(2k+7)〃3k +9能被36整除；当n=k+1时，f(k+1)=(2k+9)〃3k+1+9=(2k+7)〃3k +9+36(k+5)〃3k-2，因此f(k+1)也能被36整除，故所求m 的最大值为36.9．【解析】由条件知n 的第一个值为2，所以第一步应验证的不等式是11123++＜2.答案：11123++＜210.【解析】当n=k 时，左边为(k+1)(k+2)…(k+k),而当n=k+1时，左边为(k+2)(k+3)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)，≨左边增乘的式子为()()2k 12k 2k 1+++=2(2k+1). 答案：2(2k+1)11.【解析】c 1＝2(1－a 1)＝2×(1－14)＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×(1－14)×(1－19)＝43，c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×(1－14)×(1－19)×(1－116)＝54，故由归纳推理得c n ＝n 2n 1++.答案：n 2n 1++12．【解析】f(2k+1)-f(2k )=k 1k 1111111(1)232232++++⋯+-+++⋯+=k kk 1111.21222+++⋯+++ 答案：k kk 111121222+++⋯+++ 13.【证明】①当n ＝1时，左边＝211133=⨯，右边=()1111,2(211)3⨯+=⨯⨯+左边＝右边，等式成立；②假设n ＝k(k ≥1,k ∈N +)时，等式成立，即()()()()222k k 112k ,13352k 12k 122k 1+++⋯+=⨯⨯-++ 当n ＝k ＋1时，左边()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2222222k 112k 13352k 12k 12k 12k 3k k 1k 122k 12k 12k 3k k 12k 32k 122k 12k 3k 12k 5k 222k 12k 3k 1k 2,22k 3+++⋯++⨯⨯-+++++++++++++++++++++++＝＝＝＝＝所以当n ＝k ＋1时，等式成立． 由①②可得对任意n ∈N +，等式成立．14.【解析】(1)x 2=f(x 1)=23,x 3=2212322423⨯==+,x 4=f(x 3)=12221522⨯=+.(2)归纳x n =2n 1+.证明:①当n=1时，x 1=211+与已知相符,②假设当n=k(k ≥1，k ∈N +)时，x k =2k 1+,当n=k+1时，x k+1=()2242k 122k 4k 112k 1+==+++++. 由①②可知当n ∈N +时成立， ≨x n =2n 1+.15.【解析】当n=2时，得g(2)=2，当n=3时，得g(3)=3，猜想g(n)=n(n ≥2,n ∈N +).用数学归纳法证明猜想成立.(1)当n=2时，左边=f(1)=1，右边=2[f(2)-1]=1，左边=右边，所以等式成立. (2)假设当n=k(k ≥2,k ∈N +)时等式成立， 即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=g(k)[f(k)-1]， 那么当n=k+1时， f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k =(k+1)[f(k+1)-1k 1+]-k =(k+1)[f(k+1)-1],也就是说当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知，等式对n ≥2的一切正整数都成立.故存在关于正整数n 的函数g(n)=n ，使等式对n ≥2的一切正整数都成立. 【变式备选】已知函数f(x)＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较123n11111a 1a 1a 1a ⋯++++＋＋＋＋与1的大小，并说明理由． 【解析】123n11111a 1a 1a 1a ⋯++++＋＋＋＋＜1. 理由如下：≧f ′(x)＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)， ≨a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.令g(x)=(x+1)2-1,则函数g(x)＝x 2＋2x 在区间[1，＋≦)上是增加的，于是由a 1≥1，得a 2≥(a 1＋1)2－1≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1＞23－1，由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设n ＝k(k ≥1且k ∈N +)时结论成立，即a k ≥2k －1，则当n ＝k ＋1时，由g(x)＝(x ＋1)2－1在区间[1，＋≦)上是增加的知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②知，对任意n ∈N +，都有a n ≥2n －1， 即1＋a n ≥2n ，≨n n 111a 2≤+， ≨123n11111a 1a 1a 1a ⋯++++＋＋＋＋≤23n 11112222⋯＋＋＋＋＝n 11[1()]22112--=1－(12)n ＜1. 【方法技巧】“归纳—猜想—证明”类问题的一般解题思路通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳、猜想出公式.核心是数学归纳法证明，体现了探索数学未知问题的一般方法，是必须要具备的一种思维方式.关闭Word 文档返回原板块。