tan 21


x 2 x
y
tan
20



2 x x
y
即τmax 、τmin 作用面是互相垂直的面，为α1截面和
α1+90o截面，且α1=α0+45o 。
2. ( x y )cos 21 2 x sin 21 0
1

x

2
y
x

2
y
cos 21
x
cos 2


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2


x
y
2
sin 2
x
cos 2
⑴ σx 、τx 是法线与x 轴平行的面上的正应力与切应力，即x
面上的正应力与切应力；σy 、τy 是法线与y 轴平行的面上的正应 力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。
D

FN A

F
dt


20 103 50 2106

63.7MPa
d 0 d
( x y )cos 21 2 x sin 21 0
解得：
tan 21


x 2 x
y
可确定两个相互垂直
的截面 1,1 90
代入平面应力状态下任意斜截面上切应力表达式
max min




(
x

2
y
)2

2 x
1.
CH sin(20 2) CH sin 20 cos 2 CH cos 20 sin 2
(CDsin20)cos 2 (CDcos 20)sin2


x

2
y
sin
2

x
cos
2
2.确定主应力的大小及主平面的方位 A、B点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。
x y
1 33.69o 3 56.31o
D 点最大切应力
max

1
3
2

114.6 (50.9) 2

82.75MPa
§13-3 平面应力状态应力分
一、应力圆方程
析的图解法


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2

x
y
第十三章 应力状态分析 §13-1 引言
一、应力状态的概念
1. 点的应力状态 过受力构件内一点所作各截面上的应力情况，即
过受力构件内一点所有方位面上的应力总体。
2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小正六面体（单元体）为研
究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述 一点应力状态。
单元体三对面的应力已知 ，单元体平衡
单元体
转向相同
例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平 均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600N·m，拉力F
= 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= πd2t / 2。试用
图解法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及 最大切应力。
解：⑴ 求D 点在横截面上的正应力、切应力


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
1.04 1.04 cos 80o 0.469 sin 80o
2
2
1.07MPa


x
y
2
sin 2
x
cos 2
1.04 sin 80o 0.469 cos 80o 2
0.59MPa
)

3 50103 2 200 600106
(1
4 1502 106 6002 106
)
0.469MPa
C 1.04MPa C 0.469MPa
⑶ 作出C 点的应力状态图
x 1.04MPa y 0 x 0.469MPa
40o
H点横坐标
OC CH cos(20 2) OC CH cos 20 cos 2 CH sin20 sin2
OC (CDcos 20 )cos 2 (CDsin 20)sin 2

x

2
y

x

2
y
cos 2
x
sin 2
H点纵坐标
解：⑴ 求C 点所在截面的剪力、弯矩 F
FS 2 50kN M Fl 25kN m
8 ⑵ 求C 点在横截面上的正应力、切应力
C

M Iz
y

25103 600103 / 4 200 6003 1012 / 12
1.04MPa
C

3FS 2bh
(1
4 y2 h2
2
x
y
2
cos 2
x sin 2


x
y
2
sin 2
x
cos 2

(


x
2

y
)2


2


(
x

2
y
)2

2 x
⑴ 以σ 、τ为横、纵坐标轴，则上式表示以
(
x


y
，0)
2
为圆心，
(
x
2

y
)2
为 x2 半径的应力圆。
⑵ 应力圆上一点坐标对应单元体某斜截面的应力值，所
WP WP
作应力状态图
x y 0
x
max min


x
y
2


(
x
y
2
)2


2 x


0

1 2
arctan(

2 x x
y
)

45o

45o
圆轴扭转时表面各点σmax所在平面连成倾角为45o的螺旋面， 由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面断裂破坏。
2 x x
y
可确定两个相互垂直
的截面 0 ,0 90
代入平面应力状态下任意斜截面上正应力表达式，得：
max min


x
y
2


(
x

2
y
)2

2 x
1.

x

2
y
sin
20

x
cos
20

0
0 0
即σmax 、σmin 作用面上τ = 0，即α0截面为主平面，σmax、 σmin为主应力。
dA ( xdAcos )cos ( xdAcos )sin ( ydAsin )cos ( xdAsin )sin 0
平面应力状态下任意斜截面上应力表达式


x
y
2

x
y
2
cos 2
x
sin 2


x
y
2
sin 2
⑴ A、B点对应正应力的极值

max min


OC
CA

x
y
2


(
x

2
y
)2

2 x
⑵ CA、CB夹角为180o，所以两主平面的夹角为90o。
⑶ σmax作用面方位角度α0
tan0


FD BF


x
x min

x max y
tan 20
x
sin 21
即τmax 、τmin作用面上
1

x
y
2
3.

max min


x
y
2


(
x

2
y
)2

2 x
max

max
min
2
例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的 破坏现象。
解：圆轴扭转时横截面边缘处切应力最大
T M
二、主应力及主平面位置
求与z 轴平行所有截面上的最大（小）正应力及方位


x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
d 0 d

x

2
y
(2 sin
20 )

x (2cos
20 )

0
解得：

x

2
y
sin
20

x
cos
20

0
tan 20



⑵ 正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体 内任意点的矩顺时针为正，反之为负。
⑶ 斜截面角度：从x 轴正向转到斜截面外法线所转过的角度， 逆时针转为正，顺时针转为负。
例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力F。已知F =100kN，l = 2m ，b = 200mm ，h = 600mm ，α =40o，求离支座l /4 处截面C点 在斜截面n-n上的应力。