解： s x 100 MPa t x 60 MPa s y 50 MPa a 30
s x s y s x s y sm cos2a t x sin2a 114.5 MPa 2 2 s x s y tm sin2a t x cos2a 35.0 MPa 2 单辉祖:材料力学教程
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29
三向应力圆
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
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最大应力
s max s 1
t max
s min s 3
s1 s 3
2
最大切应力位于与 s1 及 s3 均成45的截面上
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2
满足上述二条件 确为所求应力圆
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图解法求斜截面应力
s H OC CD cos(2a 0 2a )
s H OC CD cos2a 0cos2a CD sin2a 0sin2a s x s y s x s y sH cos2a t x sin2a s a
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平面与空间应力状态
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
平面应力状态 的一般形式
微体各侧面均作用有 应力－空间应力状态 空间应力状态一般形式
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§2 平面应力状态应力分析
应力分析的解析法 应力圆 例题
sC
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s x s y
2
R
s x s y 2
2
2 t x
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应力圆的绘制 问题：已知sx , tx , sy , 画相应应力圆 根据： s C
s x s y
2
s x s y 2 R t x 2
2 2 s x s y s x s y sa cos2a t x sin2a 2 2
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同理可证： t H t a
15
点、面对应关系
转向相同，转角加倍 互垂截面，对应同一直径两端
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例 题
例 2-1 计算截面 m-m 上的应力
s a s x cos 2a s ysin 2a (t x t y )sina cosa
t a (s x s y )sina cosa t x cos 2a t ysin 2a
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s a s x cos 2a s ysin 2a (t x t y )sina cosa
上述关系建立在静力学基础上，故所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适 用于各向异性、非线弹性与非弹性问题
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应力圆
应力圆原理
sa s x s y s x s y
2 2 cos2a t x sin2a
ta
s x s y
2
sin2a t x cos2a cos2a t x sin2a
2
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§5 广义胡克定律
广义胡克定律（平面应力状态） 广义胡克定律（三向应力状态）
例题
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广义胡克定律（平面应力状态）
x
sx
E
y
s x
E
y
sx
sy
E
x
s y
E
1 x (s x s y ) E 1 y (s y s x ) E tx xy G
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应力分析的解析法
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta 符号规定： 切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为正
方位角 a － 以 x 轴为始边、 者为正
问题：建立 sa , ta 与 sx , tx , sy , ty 间的关系
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E ( x y ) 2 1 E sy ( y x ) 2 1 t xy G xy
适用范围：各向同性材料，线弹性范围内
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广义胡克定律（三向应力状态）
sx x
E
1 x [s x (s y s z )] E 1 y [s y (s z s x )] E 1 z [s z (s x s y )] E
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x
s y
E
x
s z
E
适用范围：各向 同性材料，线弹 性范围内
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例 题
例 5-1 已知 E = 70 GPa, = 0.33, 求 45。
解： 应力分析
s x 50MPa,
sa
2 2
2
s y 0, t x 30MPa
t a (s x s y )sina cosa t x cos 2a t ysin 2a
由于tx 与 ty 数值相等,并利用三角函数的变换关系,得
sa s x s y s x s y
2 2 s x s y cos2a t x sin2a
ta
2
sin2a t x cos2a
s c,max s D t
t max t min t
s 1 s 3 t , s 2 0
主平面微体位于 45 方位
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圆轴扭转破坏分析
滑移与剪断 发 生在 t m a x 的 作 用 面
断裂发生在 smax 作用面
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例 题
2 cos2a t x sin2a
s x s y s x s y
s 45 500 500cos 90 30sin90 5 MPa
s 135 55MPa
45。计算
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45 1 (s 45 s 145 ) 3.31104
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§1 引 言
实例 应力与应变状态 平面与空间应力状态
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3
实 例
微体A
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4
微体abcd
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5
微体A
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6
应力与应变状态
应力状态 过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点 处的应力状态 应变状态 构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点 处的应变状态 研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋 于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应 力与应变状态 研究目的 研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件 的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础
2
t max CK t min
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s x s y 2
2
2 t x
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极值应力方位 最大正应力方位：
tan2a 0 tana 0 2t x s x s y
tx tx s x s min s max s y
例 题
例 4-1 已知 sx = 80 MPa，tx = 35 MPa，sy = 20 MPa，sz =－40 MPa， 求主应力、最大正应力与最大切应力
szz s
解： 画三向应力圆
s 1 s C 96.1 MPa s 2 s D 3.09 MPa s 3 s E 40 MPa s s s max s 1 96.1 MPa t max 1 3 68.1 MPa
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s m 115 MPa
t m 35 MPa
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§3 极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力 主平面与主应力
纯剪切与扭转破坏
例题
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平面应力状态的极值应力
极值应力数值
s max sx s y s x s y 2 OC CA t x 2 2 s min
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s 26 MPa
s2 0
s 3 96 MPa
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2. 图解法
主应力的大小与方位 ？
a 0 62.5
s 1 26 MPa
s 2 0
s 3 96 MPa
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§4 复杂应力状态的最大应力
三向应力圆 最大应力 例题
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例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解：
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s m 115 MPa
t m 35 MPa
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例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： 1. 画应力圆 A点对应截面 x, B点对应截面 y 2. 由应力圆求 s m 与t m 由A点（截面 x ）顺时针转60。至D点（截面 y ）
smax与smin所在截面正交 s 极值与t 极值所在截 面, 成 45夹角
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主平面与主应力
s2 s1 s3
主平面－切应力为零的截面
相邻主平面相互垂直，构成一
正六面形微体 － 主平面微体 主应力－主平面上的正应力 主应力符号与规定－ s 1 s 2 s 3（按代数值）
斜截面应力公式
Fn 0， s a dA (t x dAcosa )sina (s x dAcosa )cosa (t ydAsina )cosa (s ydAsina )sina 0 Ft 0， t a dA (t x dAcosa )cosa (s x dAcosa )sina (t ydAsina )sina (s ydAsina )cosa 0