x
t
s
z
s3
s2
s1
2、三向应力分析 y
t
t max
s1 s2 s3
s
s3
x
图a
s2
s1
图b
z
弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应
力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
整个单元体内的最大剪应力为：
t max
s 1 s 3
2
例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa） y 建立应力坐标系如
t yx
C M C
解：确定危险点并画其原
始单元体
t xy
txy
s x s y 0 Mn t xy t WP
求极值应力
tyx
y O
s x s y 2 2 s 1 s x s y （ ）t xy 2 2 s 2
2 t xy t
x
s 1t ;s 2 0;s 3 t
sy
y
sz
z
txy
sx
x
四、普遍状态下的应力表示
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分
量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相
离。
证明 : 单元体平衡
sy
y
M
z
0
(t xydydz)dx(t yxdzdx)dy0
s
B(sy ,tyx)
sy
s t
y
n
三、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )

sx
txy
面的法线
x t n D( s , t C O 2 O x
应力圆的半径
A(sx ,txy)
两面夹角 且转向一致。
两半径夹角2 ；
s
着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。
实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。 拉力
s3
s1
压力
y
1 a 2 b c d 3 4 i n
主应力迹线的画法：
x
1 2 3 4 截面截面截面截面
i 截面
n 截面
q
s1
s3
§7–5 三向应力状态研究——应力圆法 1、空间应力状态 y
s1 s2 s3
sz
z
txy
sx
x
t xy t yx
六、原始单元体（已知单元体）：
例1 P 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 A P
sx
A
sx t yx
y
B z P M
sx
tzx
C
x
B
txz
sx
C
t xy
七、主单元体、主面、主应力：
y
sy sx
主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。 主面(Principal Plane)： x
s x s y 2 2 t max （ ）t xy t 2 t min
破坏分析
tg2 0
2t xy
s x s y
0 45
s x s y tg21 0 10 2t xy
低碳钢 : s s 240MPa;t s 200MPa
sx
tzx
B
txz
sx
sx
A
sx
§7–2 平面应力状态分析——解析法 y
sy
等价
sy sx
y x O x
txy
z
sx
txy
sy sx
y
一、任意斜截面上的应力 规定：s 截面外法线同向为正；
txy
x
图1
t 绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
O
s
1
t
s3 s3
D1 A2 C A1 D2 O
s
D1
A2
D1 D1
20 C O
t
A1
D2
s1
3
0 s3
–45°
s
t
20= –90°
C O D2
s t
A2 O
D2 20 C
s1
s3 0 t
D2 A2 C O
D1 A1
s
s1
5
s1
A1 D1
s
主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示
xy
x y

2t xy
s x s y
tg2 0
四、平面状态下的应力---应变关系: E s x x y 2 1 E s y y x 2 1
s z t yz t zx 0
t xy G xy
主应力与主应变方向一致?
xy tg2 0 tg2 0 s x s y E [( )(1 )] ( x y ) x y 1 2
第七章 应力状态分析
§7–1 应力状态的概念
§7–2 平面应力状态分析——解析法
§7–3 平面应力状态分析——图解法 §7–4 梁的主应力及其主应力迹线
§7–5 三向应力状态研究——应力圆法 §7–6 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律） §7–7
作业
复杂应力状态下的变形比能
灰口铸铁 : s Lb 98~280MPa
低碳钢
s yb 640~960MPa;t b 198 ~300MPa
铸铁
§7–3
平面应力状态分析——图解法
一、应力圆（ Stress Circle）syLeabharlann sxy O xtxy
s
s x s y s x s y s cos2 t xy sin2 2 2 t s x s y sin2 t cos2 xy 2
2

tg2 0
2t xy
sx sy sx sy 2 sm´ 2 ax t ± （ ） xy ´ s 2 2 m in
t 0 极值正应力就是主应力 ！
0
s x s y sy
sx
y O x
txy
s max ; s2 s min s1
s1在剪应力相对的项限内，
同理：
O
s
sx
y
sy
x
txy
图2
t
s x s y t sin 2 t xy cos2 2
n
O
t
二、极值应力
ds 令: s x s y sin2 0 2t xy cos2 0 0 d 0
由此的两个驻点：
01、（ 01 ）和两各极值：
B A
30 z
t （MPa ）
C 40 50
B
t max
图，画应力圆和 点s1′,得: 10
x
s s2 s1 (MPa)
解：由单元
s3
体图知：y
z面为主面 A
50 s1
s 1 58 s 2 50 s 3 27 t max 44
§7–6 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）
且偏向于sx 及sy大的一侧。 y
sy
主 单元体
s2
sx
txy s 1
x
dt 令: d
0
1
s x s y tg21 2t xy
O
sx sy 2 2 tmax ± （ ）tx y 2 tmin
0 1
4 , 即极值剪应力面与主面成450
例2 分析受扭构件的破坏规律。
圆心，以C为圆心， 以AC为半径画
s3
2s0
C
O s2
s1
圆——应力圆
(MPa)
s
主应力及主平面如图
s 1 120 s 2 20 s 3 0
25 3
s2
45 B
150°
95
A
0
25 3
s1
0 30
t (MPa)
B A 20MPa
s3
2s0
C
O s2
s1
(MPa)
s
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
xy
t xy
yz G t zx zx
G
t yz
G


主应力 --- 主应变关系
1 s 1 s 2 s 3 E 1 2 s 2 s 3 s 1 E
1
3
1 s 3 s 2 s 1 E
方向一致
tg2 0
§7–１ 应力状态的概念 一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P M 低碳钢 铸铁拉伸 铸铁压缩 P
铸铁
P P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
二、一点的应力状态：
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合， 称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。 三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质——a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
sz
z
剪应力为零的截面。
主应力(Principal Stress ）：
s2 s1
主面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
s3
s 1s 2 s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。