14
绘制方法2（实际采用） t
y
sy ty
n
s
x
t t xs x
C
o
ty
sy E
D
tx
s
F
•分析
sx+sy)/2 sx-sy)/2 sx
设x面和y面的应力分别为 D(s x ,t x ), E(s y ,t y ),
由于t x t y ,
故DE中点坐标
C
s
(
x
s y
,
0)
2
为圆心，DE为直径。
15
9
应力转轴公式（斜截面上的应力公式）
s
sx
s
2
y
s
x
s
2
y
cos2
t xsin2
t
sx
s
2
y
sin2
t xcos2
应力转轴公式的意义？
应力转轴公式的适用范围？
上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性 质无关。换句话说，它既适用于各向同性与线 弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非 弹性问题。
低碳钢和铸铁的拉伸与扭转实验
低碳钢
铸铁
拉伸实验
扭转实验
由对应实验建立强度条件
4
建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
材料物质点应力状况（寻找特征参量）
材料失效机理+关联单轴拉伸实验
•应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的 应力状况，称为该点处的应力状态
sx
•应变状态 构件内一点在各个不同方位的应 变状况，称为该点处的应变状态 z
(sx+ sy)/2
结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆 ——应力圆
13
二、应力圆的绘制及应用
t
绘制方法1：
以 （s x s y ， 0） 为圆心，
R
2
o
s
R
s (
x s 2
y )2
t x2
为半径作圆
(sx+ sy)/2
缺点：
•需用解析法计算圆心坐标和半径
•没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系
➢ 弯曲问题（工字梁）
s C ,max
d s1
t1
a t max
C
z
a t max
O
t t max
b s1 t1
c
s t ,max
b
s1
c
t1
d
s C ,max
y
s t ,max
y
a 点处: 纯剪切； c , d 点处: 单向应力；
b 点处: s ,t 联合作用
分别满足拉伸强度条件、扭转强度条件？
复杂应力状态下（一般情况下），如何建立强度条件 ？
sH
s
x
2
s
y
s
x
2
s
y
cos2
t
xsin2
s
同理：t H t
16
应力圆点与微体截面应力对应关系
点面对应：微体截面上的应力值与应力圆上点的 坐标值一一对应。
t
sy ty s
t
txsx
H(s ,t )
C
s
17
二倍角对应：应力圆半径转过的角度是微体截面方位角 变化的两倍，且二者转向相同。
建立强度条件
y
sy
dx
ty
dy
sx tx
dz
x
sy
5
第八章 应力应变状态分析
§8-1 引言 §8-2 平面应力状态应力分析 §8-3 应力圆 §8-4 平面应力状态的极值应力与主应力
6
物质点应力微体 一般情况（三维）
独立6分量
如果z面应力为零
7
§8-2 平面应力状态应力分析
y
sy dx
什么是平面应力状态？
10
例 求图示 s，t
已知 s x 80 MPa t x 60 MPa
s y 30 MPa 210o
t30o
60 80
s
解：
s
sx
s 2
y
s
x
s 2
y
cos2
t xsin2
30
单位：MPa
s
80 30
2
80 30 cos60o
2
(-60)sin60o
104.46MPa
t
sx
s 2
sx
ty
dy
sx
•微体有一对平行表面不受力的应力状态。
tx
由此推断
dz
x ➢ 微体仅有四个面作用有应力；
z
sy
y
➢ 应力作用线均平行于不受力表面；
平面应力状态的应力分析
问题：已知sx , sy, tx , ty, 求任意平 x 行于z轴的斜截面上的应力。
解决该问题的意义何在？
z 8
➢ 应力分析的解析法：微体中取分离体平衡。
s
s
x
s
2
y
s
x
s
2
y
cos2
t
xsin2
t
0
s
x
s
2
y
sin2
t
xcos2
(s
s
x
s
2
y
)2
t2
(s x
s
2
y
)2
t x2
圆方程
12
(s
s
x
s
2
y
)2
t2
s
(
x
s
2
y
)2t x2Fra bibliotekts—t坐标系下的圆方程
圆心坐标：
（s x s y ， 0） 2
o
R s
半径：
R
s (
x s 2
y )2
t x2
sx sx
y sy
ty
n
s
t
sx tx
Fn 0
s dA t xdA cos( ) sin( ) s xdAcos( ) cos( ) t ydA sin( ) cos( ) s ydAsin( ) sin( ) 0
Ft 0
t
x t dA t xdA cos( ) cos( ) s xdA cos( ) sin( )
1
2
强度条件：保证结构或构件不致因强度不够而破坏的条件。
拉压杆强度条件：
s max＝
FN A
max
s
圆轴强度条件：
t max
T Wp
max
t
梁的强度条件：
s max
M Wz
max
[s ]
t max
F SS z ,max I z
max
[t ]
建立强度条件的依据？
3
建立强度条件的依据？ 材料基本实验
y
sin2
t xcos2
t
80 30 sin60o
2
60 cos60o
=8.35MPa
还可取何值
150o; 30（o x轴向左）
N 180o 不改变 s t 11
§8-3 应力圆
应力转轴公式
s
sx
s
2
y
sx
s
2
y
cos2
t xsin2
t
sx
s
2
y
sin2
t xcos2
在 s 平t面上， s的 ,轨t迹 ？
sy ty
n
s
t t x s x
t
H (s , t )
2
C
D(s x , t x ) s
微体互垂截面，对应应力圆同一直径两端 微体平行对边, 对应应力圆同一点
18
➢ 几种简单受力状态的应力圆
单向受力状态
sx
sx
t
纯剪切受力状态
ty tx
t
双向等拉
sy
t ydA sin( ) sin( ) s ydA sin( ) cos( ) 0
dA n
tx
s t
t
s
sx
s 2
y
sx
s 2
y
cos(2 ) t x
sin(2 )
t
sx
s 2
y
sin(2 ) t x
cos(2 )
ty sy
符号规定：s—拉伸为正；t—使微体顺时针转者为正 —以x轴为始边，指向沿逆时针转者为正
y
sy ty
n
s
x
t t xs x
t
sH
H s , t
D tH
C 220tx
s
o
ty
F
•绘图：以ED为直径， C为圆心作圆
•面应力： 考察H点应力
sy E
sx+sy)/2 sx-sy)/2 sx
s H OC CH cos(20 2 ) OC CDcos20cos2 CD sin20sin2