条件期望的性质和应用1 条件期望的几种定义1.1 条件分布角度出发的条件期望定义从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。

由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。

定义1 离散随机变量的条件期望设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===，1,2,,1,2,.i j =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞⋅====>∑的j y ，称()()|,(),1,2,j ij i i j i j j j P X x Y y p p P X x Y y i p P Y y ⋅========⋅⋅⋅=为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。

此时条件分布函数为 ()()i i j i j i j x x x x F x y P X x Y y p ≤≤====∑∑；同理，对一切使()10i i ij j P X x p p +∞⋅====>∑的i x ，称()()()j|i ,,1,2,j ij i j i i j P X x Y y p p P Y y X x j p P X x ⋅========⋅⋅⋅=为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。

此时条件分布函数为 ()()j j i j i j i y y y y F y x P Y y X x p ≤≤====∑∑。

故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下()()i i i E X Y y x P X x Y y ====∑或()()j j jE Y X x y P Y y X x ====∑。

定义2 连续随机变量的条件期望设二维连续随机变量（X,Y ）的联合密度函数为(,)p x y ，边际密度函数为 ()X p x 和()Y p y 。

对一切使()Y p y >0的y ，给定Y y =条件下X 的条件分布函数和条件密度函数 分别为(,)()()xY p u y F x y du p y -∞=⎰，()()(),Y p x y p x y p y =； 同理对一切使()X p x >0的x ，给定X=x 条件下Y 的条件分布函数和条件密度函数分别为(,)()()yX p x v F y x dv p x -∞=⎰，()()(),X p x y p y x p x =。

故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下 ()()E X Y y xp x y dx +∞-∞==⎰或()()E Y X x yp y x dy +∞-∞==⎰。

2 条件期望的性质2.1 一般性质因为条件数学期望是数学期望的一种特殊形式，所以它具有一般的非条件数 学期望的所有性质。

性质1 若c 是常数，则()E c c =；性质2 对任意常数a ，有()()E aX aE X =；性质3 对任意的两个函数1()g x 和2()g x ，有[][][]1212()()()()E g X g X E g X E g X ±=±；性质4 若X 、Y 相互独立，则()()()E X Y E X E Y ⋅=⋅。

根据此定理，运用归纳法，易得下列推论：推论 1 11221122()()()()n n n n E a X a X a X b a E X a E X a E X b ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++，其中12,,,,n a a a b ⋅⋅⋅均是常数时，特别有1212()()()()n n E X X X E X E X E X ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+。

推论 2 若12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立，则1212(...)()()...()n n E X X X E X E X E X ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

注意：对于“和” ，不要求12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立，对于“积” ，则要求 12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立。

2.2 特殊性质引理 随机变量X 和Y 的相关系数(),X Y ρ在坐标平移变换中保持不变。

证明：设平移变换11,X X a Y Y b =+=+，（,a b 为常数）由期望和方差的性质易知()[]()(),E X E X Y E Y X Y ρ--⎡⎤=[]()1111()E X a E X a Y b E Y b +-++-+⎡⎤=[]()1111()E X E X Y E Y --⎡⎤= ()11,X Y ρ=3 条件期望的应用3.1 利用条件期望计算数学期望由条件期望的定义1可知，要计算()E X ，可取在条件Y y =下，X 的条件期 望的加权平均，加在每一项()E X Y y =的权重等于作为条件的那个事件的概率， 这是一个极为有用的结果，采用这种对适当的随机值先“条件化”的方法，往往 能够较容易地把数学期望计算出来。

下面举例说明其用法。

例1假设一天内进入某景点的游客人数均值为50的随机变量，进一步假设 每个游客消费的钱数为6元的独立的随机变量，且每个顾客消费的钱数与一天内 进入景点的游客数也是独立的，求某天游客总消费钱数的期望值。

解：令N 表示进入这个景点的游客人数，令i X 表示第i 个游客在这个景点消费的钱数，则所有游客消费的钱数为1Ni i X =∑，现在有11()NN i i i i E X E E X N ==⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑而()11()NN i i i i E X N n E E X nE X ==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑ (由i X 与N 的独立性知)其中()()i E X E X =。

这意味着()1()N i i E X N NE X ==∑，因此()()()1()506300Ni i E X E NE X E N E X ====⨯=⎡⎤⎣⎦∑故由上面的结果可知，某天游客总消费钱数的期望值为300元。

例2一矿工被困在有三个门的矿井中，第一个门通过一坑道，沿此坑道走3 小时可使他到达安全地点；第二个门通到使他走5小时后又转回原地的坑道；第 三个门通到使他走7小时后回原地的坑道。

如设这矿工在任何时刻都等可能地选 定其中一个门，试问他到达安全地点平均要花多长时间？解：令X 表示该矿工到达安全地点所需时间（单位：小时），Y 表示他最初 选定的门，应用全数学期望公式，有()()E X E E X Y ⎡⎤=⎣⎦()()()()()()112233E X Y P Y E X Y P Y E X Y P Y ===+==+==()()()11233E X Y E X Y E X Y ⎡⎤==+=+=⎣⎦， 易知()13E X Y ==； 现在考虑计算()2E X Y =。

设该矿工选择第二个门，他沿地道走5小时后又 转回原地，而一旦他返回原地，问题就与当初他还没有进第二个门之前一样。

因此，他要到达安全地点平均还需要()E X 小时，故 ()()25E X Y E X ==+；类似地，有 ()()37E X Y E X ==+，从而 ()()()13573E X E X E X =++++⎡⎤⎣⎦。

解得 ()15E X =。

所以他到达安全地点平均要花15小时。

此类问题同游客在旅途中平安脱险所用时间的解决方法类似，不再一一做一 说明。

例 3箱内有a 个白球和b 个黑球，每次从中随机地取出一球，直到首次取得 白球为止，求被取出的黑球的平均数。

解：设X 表示被取出的黑球数，记(),a b M E X =，定义1Y =，如第一个被抽出的球是白色；0Y =，如第一个被抽出的球是黑色。

则 ()()()()(),1100a b M E X E X Y P Y E X Y P Y ====+==。

但是 ()10E X Y ==， (),101a b E X Y M -==+，()0b P Y a b ==+ 于是 (),,11a b a b b M M a b-=++， (),1,011111a a M M a a =+=++, (),2,122121a a M M a a =+=++。

用归纳法易证 ,1a b b M a =+。

3.2 利用条件期望求随机变量的方差因为对任一随机变量X ，有公式()()()22D X E X E X =-⎡⎤⎣⎦，因此可用条件期望来计算方差。

例4若保单持有人在一年保险期内发生意外事故死亡，赔付额为100000元； 若属于非意外死亡，赔付额为50000元；若不发生死亡则不赔付。

根据历史数据 记录，发生意外和非意外死亡的概率分别是0.0005和0.0020，试讨论第i 张保单理赔的概率分布。

解：用I 表示理赔次数，1I =表示有死亡事故发生需要赔付；0I =则表示事故发生不需要赔付。

若用A 表示需要赔付的数额，A 不再是一个常数，而是一个与I 有关的随 机变量，依题意有()1,1000000.0005P I A ===，()0,500000.0020P I A ===而且令()1q P I ==，则()()()11,1000000,500000.0025q P I P I A P I A =====+===，()()10110.9975q P I P I -===-==。

因此，记i X IA =，其中A 的条件分布概率为()5000010.8P A I ===，()10000010.2P A I ===且有 ()()i i E X E E X I ⎡⎤=⎣⎦()()()()0011i i P I E X I P I E X I ===+==()()101q qE A I =-⨯+= ()()500005000011000001000001q P A I P A I ⎡⎤===+==⎣⎦ ()0.0025500000.81000000.2=⨯⨯+⨯150=则 ()()()22i i i D X E X E X =-⎡⎤⎣⎦ ()()22i i E E X I E X ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()2220011i i i P I E X I P I E X I E X ===+==-⎡⎤⎣⎦ ()221150qE A I ==-()22220.0025500000.81000000.2150=⨯⨯+⨯-4977450=例5 接连做一独立重复试验，每次试验成功的概率为p 。

设X 表示出现首次成功所需的试验次数，求()D X 。

解：设1Y =，如第一次实验结果成功；0Y =，如第一次实验结果失败。

因为 ()()22E X E E X Y ⎡⎤=⎣⎦ ()211E X Y == ()()2201E X Y E E X ⎡⎤==+⎣⎦因此 ()()()()()221100E X E X Y P Y E X Y P Y ===+==()()211p p E X ⎡⎤=+-+⎣⎦()()2112p E X X =+-+()()()22111p p E X p-=++- 或 ()222p E X p -=故 ()()()222D X E X E X ⎡⎤=-⎣⎦ 2221p p p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭21p p -= 在实际生活中条件数学期望的应用也比较广泛，这需要仔细观察。