《初等数论》作业第一次作业：一、单项选择题1、=),0(b （ ）.A bB b -C bD 02、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A aB bC 1D b a +4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定7、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定二、计算题1、求24871与3468的最大公因数?2、求[24871,3468]=?3、求[136,221,391]=?三、证明题1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.2、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第二次作业一、单项选择题1、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a Da b a ),(2、不定方程210231525=+y x （A ）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解二、求解不定方程1、144219=+y x .解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

2、18176=-y x .解：因为 18)17,6(,所以有解; 考虑1176=-y x ,1,3==y x ;所以18,54==y x 是特解,即原方程的解是 t y t x 618,1754-=-=3、2537107=+y x .解：因为（107，37）=125，所以有解；考虑137107=+y x ， 有26,9-==y x ，所以，原方程特解为259⨯=x =225，2526⨯-=y =-650，所以通解为t y t x 107650,37225--=+=4.求不定方程471325=++z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为 25(-t)+13(2t)= t, 32+7⨯(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧-=+-=1125213k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=224732k z k t . 消去t 就得到所求的解⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=-+-=22121414256471332k z k k y k k x ,这里21,k k 是任意整数.5.求不定方程8594=+-z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为4(-2t)-9(-t)= t, 48+5⨯(-8)=8,所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧--=--=11492k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=228548k z k t .消去t 就得到所求的解⎪⎩⎪⎨⎧--=---=---=221218544810996k z k k y k k x ,这里21,k k 是任意整数.第三次作业：一、选择题1、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或92、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,44、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠二、解同余式（组）（1）)132(mod 2145≡x .（2）)45(mod 01512≡+x（3）)321(mod 75111≡x .（4）⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . 三、证明题1、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .第四次作业：一、计算：1、判断同余式)593(mod 4382≡x 是否有解？2、判断同余式)1847(mod 3652≡x 是否有解？3、求11的平方剩余与平方非剩余.4、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. 5、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛443383 二、证明题：1、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.2、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.4、素数写成两个平方数和的方法是唯一的.答案：第一次作业：一、单项选择题1、=),0(b （C ）.A bB b - D 02、如果a b ，b a ，则(D ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（C A a B b C 1 D b a +4、小于30的素数的个数（A ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ C ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果n 3，n 5，则15（A ）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定7、在整数中正素数的个数（C ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定二、计算题1、 求24871与3468的最大公因数?解： 24871=3468⨯7+5953468=595⨯5+493595=493⨯1+102493=102⨯4+85102=85⨯1+1785=17⨯5, 所以,(24871,3468)=17.2、 求[24871,3468]=?解：因为 （24871,3468）=17所以 [24871,3468]= 17346824871⨯ =5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

3、求[136,221,391]=?解： [136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391] = 173911768⨯=104⨯391=40664. 三、证明题6、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即r q b a '+'=,b r '≤0.所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立.因此q q '=,r r '=.其次证明存在性.我们考虑整数的有序列……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使()b q a qb 1+≤ .我们设qb a r -=,则有r bq a +=,b r ≤0.7、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 证明： 因为62332n n n ++=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n , 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n , 即62332n n n ++是整数. 8、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数. 证明： 因为=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +⨯++⨯+⨯--- ,n n a a a a 121- =n n n n a a a a +⨯++⨯+⨯---10101012211 ,所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =).101()101(10)110(10)110(1132311------+-⨯++-⨯+-⨯n n n n n n a a a a而上面等式右边的每一项均是9的倍数,于是所证明的结论成立.9、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n所以)22(2+n n =)1(4+n n而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即)1(4+n n 是8的倍数.第二次作业答案：一、单项选择题1、 如果( A ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(2、不定方程210231525=+y x （A ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解二、求解不定方程1、144219=+y x .解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

2、18176=-y x .解：因为 18)17,6(,所以有解;考虑1176=-y x ,1,3==y x ;所以18,54==y x 是特解,即原方程的解是t y t x 618,1754-=-=3、2537107=+y x .解：因为（107，37）=125，所以有解；考虑137107=+y x ，有26,9-==y x ，所以，原方程特解为259⨯=x =225，2526⨯-=y =-650，所以通解为t y t x 107650,37225--=+=4.求不定方程471325=++z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为25(-t)+13(2t)= t, 32+7⨯(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为⎩⎨⎧-=+-=1125213k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=224732k z k t . 消去t 就得到所求的解⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=-+-=22121414256471332k z k k y k k x ,这里21,k k 是任意整数.5.求不定方程8594=+-z y x 的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为 4(-2t)-9(-t)= t, 48+5⨯(-8)=8,所以,上面两个方程的解分别为 ⎩⎨⎧--=--=11492k t y k t x , ⎩⎨⎧--=+=228548k z k t .消去t 就得到所求的解 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=---=2212185********k z k k y k k x , 这里21,k k是任意整数.第三次作业答案：一、选择题1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或92、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ）A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠二、解同余式（组）（1）)132(mod 2145≡x .解 因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程)44(mod 715≡x .我们再解不定方程74415=-y x ,得到一解(21,7).于是定理4.1中的210=x .因此同余式的3个解为)132(mod 21≡x ,)132(mod 65)132(mod 313221≡+≡x ,)132(mod 109)132(mod 3132221≡⨯+≡x .（2）)45(mod 01512≡+x解 因为(12,45)=3¦15,所以同余式有解,而且解的个数为3.又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+.我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),即定理4.1中的100=x .因此同余式的3个解为)45(mod 10≡x , )45(mod 25)45(mod 34510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 345210≡⨯+≡x .（3）)321(mod 75111≡x .解 因为(111,321)=3¦75,所以同余式有3个解.将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x .我们再解不定方程2510737=+y x ,得到一解(-8,3).于是定理4.1中的80-=x .因此同余式的3个解为)321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 33218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 332128≡⨯+-≡x .（4）⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,得到)9(m o d 4),8(m od 1),7(m od 4321-=-==x x x .于是所求的解为).494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯≡x（5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡≡)9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)三、证明题1、 如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:a =1101010n n n n a a a --+++,010i a ≤.因为10≡0(mod5),所以我们得到 )5(mod 0a a ≡所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .证明 因为)3(mod 12-≡,所以 )3(m od 1)1(12+-≡+n n .于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .从而有)3(m od 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n .第四次作业答案：一、计算： 1、 判断同余式)593(mod 4382≡x 是否有解？(答：无解。