中职数学 实数指数幂及其运算
练习1 （1）2 3×2 4 ＝
（2）( 2 3 ) 4 ＝ 24
（3） 23 ＝ （4）( x y ) 3＝
； aman＝ ；
； (am)n＝
；
；
am an
＝
( m ＞ n，a ≠ 0 )；
； (ab)m＝
．
2
计算：
23 23 ＝ 1 ；
＝23－3 ＝20
20＝1
规定 a0＝1 (a≠0) 如果取消 aamn ＝am － n(m＞n，a≠0)中 m ＞ n 的 限制，如何通过指数的运算来表示？
1 (a－b)4
பைடு நூலகம்是否恒成立？为什么？
6
练习4 （1）( 2 x )－2 ＝ ；（2）0.001－3 ＝ ；
（3）(
x3 y2
)－2
＝
；（4）bx22c ＝
．
7
分数指数
❖ 1.回顾初中学习的平方根，立方根的概念.
方根概念推广： 如果存在实数x使得
则x叫做a的n次方根. x n a (a R ,n 1 ,n N ) 求a的n次方根，叫做把 a开n次方, 称作开方运算.
（ 1） － 3 ＝ （ 2 － 2） － 3 ＝ 2 （ － 2 ） （ － 3 ） ＝ 26＝ 64 ； 4
（ 16） － 3 4＝ （ 2） 4 （ － 3 4） ＝ （ 2） － 3＝ 27。
81
3
38
13
练习:求值：
912，6432
,(
1
1
)5
32
14
⒋有理指数幂的运算性质 我 说明们：规若定a了>分0，数p指是数一幂个的无意理义数以，后则a，p表指示 数 一个的确概定念的就实从数整. 数上指述数有推理广指到数有幂理的运数算指性 数 质，. 上对述于关无于理整数数指指数数幂幂都的适运用算. 即性当质指，数对的 于 范围有扩理大指到数实幂数也集同R样后适，用幂，的即运对算任性质意仍有然 理 是数下r述，的s，3条均. 有下面的性质：
3
二、零指数幂 a 0 ＝ 1（a ≠ 0 ）
练习2
（1）8 0 ＝
；
（2）(－0.8 ) 0 ＝
；
（3）式子 ( a－b ) 0 ＝1 是否恒成立？为什么？
4
如果取消 aamn＝am－n(m＞n，a≠0)中m＞n的
限制，如何通过指数的运算来表示？
计算： （1）2243 ＝
1 2
；
（2）2263 ＝
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整
数指数幂的意义相仿，就是：
m
an
1 m
an
n
1 (a>0,m,n∈N*,且n>1). am
规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指
数幂没有意义.
11
练习: 1、用根式表示（a>0)：
1 4 1 3
23,a5,3 6,a 4.
1
2、若 x5 （ ） 0 （ x4） 4有意义 x的 ， 取 求 值
的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的
结果：
1
2
(1)3 3 1=-1； (1)6 6 (1)2 61=1. 这就说明
分数指数幂在底数小于0时无意义.
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⒉负分数指数幂的意义
注回意忆：负整负数分指数数指幂数的幂意在义：有意义的情况下，
总在指表数示上正.数a－，n=而a1不n (是a≠负0,n数∈,N负*)号. 只是出现
1 8；
＝23－4
＝23－6
＝2－1
2－1 ＝
1 2
＝2－3
2－3 ＝
1 23
规定 a－1＝ a1（a≠0） a－n＝ a1n（a≠0，nN＋）
5
三、负整数指数幂
练习3
a－1 ＝
1 a
（
a
≠
0）
a－n ＝
1 an
（a ≠ 0，n N＋ )
（1）8－2 ＝
；
（2）0.2－3 ＝ ；
（3）式子(a－b)－4 ＝
9
⒈正分数指数幂的意义
⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：
m
a n n am (a 0,m,n∈N*,且n>1)
m
用语言叙述：正数的 n 次幂(m,n∈N*,且n>1) 等于这个正数的m次幂的n次算术根.
注意：底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会 引起混乱，例如，(-1)1/3和(-1)2/6应当具有同样
12
例2：求值： 82 3， 100－ 1 2， （ 1） － 3， （ 16） － 3 4
4
81
分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。 解：
82 3＝ （ 23） 2 3＝ 232 3＝ 22＝ 4；
100－ 1 2＝ （ 102） － 1 2＝ 102 （ － 1 2） ＝ 10－ 1 ＝ 1； 10
21
11
15
(1)2 (a3b2) (6a2b3)(3a6b6)
1
(2)(m4
3
n8
)8
18
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
解： (1 )2 (a3b2) (6 a2b3)( 3 a6b6)
211 115
[2( 6)( 3)a ]326b236
4ab 04a
1 3
(2)(m4n 8
8
有理数指数幂
10
复习：（口算）5 a10 5 (a2)5 a2 a 5
1）5 32 2）4 81 3） 210
12
3 a12 3 (a4)3 a4 a 3
2
2
3 a2 3 (a 3 )3 a 3
4）3 312
1
1
a (a 2 )2 a 2
n
am
m
m
n(an)nan(m ,nN*且 ,n1)
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q)；
⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)；
⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
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1.正数的正分数指数幂的意义：
m
a n na m (a 0 ,m ,n N *且 ,n 1 )
2.正数的负分数指数幂
m
an
1(a0,m,nN*且 , n1)
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例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：
a 2 a,a 33a 2, aa(式 中 a0 )
分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。
解：
a2 aa2a1 2a21 2a5 2;
a33a2a3a2 3a32 3a131;
11
31 3
aa(aa2)2(a2)2a4.
a ?
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例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
)8
1
(m4
)8(n83)8
m2•n3
m2 n3
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m
an 3. 0的分数指数幂
4.有理指数幂的运算性质
0的正分数指数幂等于0。 （1）ar•as=ar+s(a>0,r,s∈Q)
0的负分数指数幂无意义。（2）(ar)s=ar•s(a>0,r,s∈Q)
（3）(a•b)r=ar•br(a>0,b>0,r∈Q)
注意：以后当看到指数是分数时，如果没有特
别的说明，底数都表示正数.