( )
( )

得对能量本征态的定态薛定谔方程：
2 2 − 2m ∇′ + V x′ uE x′ = EuE x′
( )
( )
( )
二、不含时薛定谔方程（续）
束缚态：

lim V x′ 要解方程需加边界条件，假设要求的解，E < x ' →∞ 合适的边条件为当 x′ → ∞, uE ( x′ ) → 0
()
(
)
( )
2.4 薛定谔波动方程（续）

∂ ∂ −iΗt 由 i x′ α , t 0 ; t = i x′ e α , t0 ; t0 ∂t ∂t
= x′ Η α , t0 ; t

而
p 2 2 2 x′ + V x α , t0 ; t = − ∇′ x ′ α , t 0 ; t + V x ′ x ′ α , t 0 ; t 2m 2m

注意：算符随时间变化不意味着其期待值随时间变。 对谐振子 n x ( t ) n = n x ( 0 ) n cos ωt + n p ( 0 ) n sin ωt mω
= 0+0 = 0

要观测到类似于经典振子的振荡，需用能量本征态的叠加 对 α = c0 0 + c1 1 ，可验证 α x ( t ) α 随时间振荡。
| α >= C 0 | 0 > +C1 | 1 >,
* < α | χ (t ) | α >= [C0 C1 < 0 | χ |1 > +C1*C0 < 1| χ | 0 >]
ω m sin ωt * = 2 Re(C C1 ) cos ωt + [i (−C0 C1 + C1*Co )] 2mω mω 2
二、不含时薛定谔方程

对A和H的共同本征初态,
− iEa′t x′ α , t0 ; t = x′ a ' e
2 − iEa′t − iEa′t ∂ 2 = − ∇′ + V x′ x ′ a ′ e i ψ x′, t = Ea′ x′ a′ e ∂t 2m
( )
( )
∂t
i 其中 ψ ∗∇ψ − ( ∇ψ ∗ )ψ = I m (ψ ∗∇ψ ) j=− 2m m

该结果依赖于势能算符的厄米性即实势能。对复势能，结 果会变化，可解释粒子的消失，如入射粒子被核吸收。 几率流与动量有关：
p t d x j x, t = m
但将 j
解释成 ρ v 需要坐标与速度的同时精确测量而不
∂t
m
∂t
可能（测不准关系）。
五、经典极限

据薛定谔方程有：
2 2 1 2i ρ ρ − ∇ + ∇ . ∇ − S ( ) 2 2m
(
)
ρ ∇S +
2
i ρ ∇ 2 S + ρV
3

( )
三、波函数的解释（续）

连续性方程与无源无漏区的流体力学连续性方程相似，因 2 2 e ψ 此 ψ 曾被认为是物质密度， 是实际电荷密度。 奇特物理图像： 1）一原子的电子可看作连续分布的物质，占据核附近的 一定空间。测量使得电子处于某一特定点时，这一连续分 布的物质突然收缩为点状无空间延伸的粒子。 2）电子的“大小”可变，膨胀的电子没被测量到 Born提出了被广泛接受的解释，即 ψ 为几率密度的统计 解释。 重新思考：相位、完整性、电子云

与经典x、p的运动形式相同。x、p算符像其经典对应量一 样振荡
p (0) sin ωt , x(t ) = x(0) cos ωt + mω
p (t ) = − mω x (0) sin ω t + p (0) cos ω t
六、振子的时间演化（直接解法）
x(t ) = e 由算符的时间演化直接求出x(t),p(t)： 利用Baker-Hausdorff引理: 2 2 i λ eiλG Ae − iλG = A + iλ [G, A] + G , [ G , A] +…
+
=e
α a+
e
−α a −α 2 / 2
e
,
2

αa e 故
−αa
| 0 >= e −α
∞
2
/ 2 αa
e
+
| 0 >= e −α
/2

n =0
2
∞
αn
n!
|n>
< χ ′ | T ( L) | 0 >= Cnψ n ( χ ′),
n =0
C n = e −α
2
/2
αn
n!
= e −L
2 / 4 χ0
(L / 由于[a,a+]=1，对由a及a+组成的函数，a与
a+
∂ 与− 等价，有 ∂a
αa + −αa
∂ + 等价， ∂a
ae
α a + −α a
| 0 >= α e
α a + −α a
|0>

故e
| 0 > 是a的本征值为 α的本征态
2 + iωt −iωt cos ωt < α | a 0 e + a(0)e | α >= α 2mω mω
即粒子被限于一定的空间内，或称束缚态。
( )

由偏微分方程理论知满足该边界条件的非平凡解，有分立 的一组E值。定态薛定谔方程能级的量子化。 可见由定态薛定谔方程寻求微观物理体系的能级与寻求弹 簧的特征频率相仿，都是数学物理的边界值解问题。

三、波函数的解释


波函数是态矢在坐标本征函数的展开系数，其模平方是几 2 2 率密度，ρ x′, t = ψ x′, t = x′ α , t ; t 0 3 3 ′ ′ ρ x , t d d x 在 x′ 附近 的体积内找到该粒子的几率为 ( ) x′ 由含时方程可推出连续性方程 ∂ρ + ∇ • j =0
dx d (a + + a − ) / 2mω ω + = = i(a − a) dt dt 2m

+ − d ( a − a ) 即 = −iω (a + + a), dt
d (a + + a − ) = iω (a + − a ) dt
六、振子的时间演化 （续）

或
da + = iω a + , dt
* 0
2 2 * * [Re(C0 C1 )]cos ωt + [ I m (C0 = C1 )]sin ωt mω mω

以 ω 为角频率振荡，与经典振子有些相象。
七、相干态

对应于非厄米算符 a 的本征态(相干态)是形状不扩展的振 荡波包，具有与经典振子振荡最相似的特性。

a λ = λ λ , λ 一般为复数
λ xλ = λ
a + + a ) λ = λ a + ( 0 ) eiωt + a ( 0 ) e−iωt λ ( 2mω
2mω
− iωt = 2 ( λR cos ωt + λi sin ωt ) = 2 Re λ e 2mω 2mω
以ω为角频率振荡且形状不随时间变
2


四、波函数的相位

iS x, t ψ x, t = ρ x, t exp
( )
∗
( )
( )

S为实数，ρ是几率密度。

S的含义？
i 由 ψ ∇ψ = ρ ∇ ρ + ρ∇S , 得： j =
ρ∇ S

m 可见相位S具有重要的信息：波函数相位的空间变化表征 了几率流量。相位变化越激烈，则流量越强。流量的方向 与该点上等相位面垂直。对平面波 ∇S = p. p ∂ρ ∂ρ 虽然形式上我们有 + ∇. ρ = + ∇ ( ρv) = 0
六、半经典(WKB)近似：一维定态薛定谔方程的近似解
< α | χ (t ) | α >=

考虑到a并非厄米算符，本征值不一定为实数，可对在复 平面作解析延拓，记为λ，考虑幺正性，有
| λ >= e
λa + −λ*a
|0>
2.4 薛定谔波动方程
一、含时薛定谔方程


薛定谔图像，坐标表象的状态随时间演化为 ψ ( x′, t ) = x′ α , t0 ; t 2 p Η= + V ( x ) , V x 为厄米算符，且为局域的，即 2m 3 V ( x ') 为 x ′ 的实函数 x′′ V ( x ) x′ = V ( x′ ) δ ( x′ − x′′ ) , 以后我们会讨论含时的 V x, t , 非局域但可分离的势， ′ V x V x " , ′ V x , x " 1 ( ) 2 ( ) 与动量相关的势， p ⋅ A + A ⋅ p , 等等。
1 t 3ω 2 p(0) p(0) 1 2 2 t − t ω x(0) − = x(0) + +… 3! m m 2!