,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试（A 卷）《 2007线性代数 》试卷20分） （1） 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =无解的充分必要条件是：（2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θθθθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭，则12007P A P -= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t= （4） 若A 为2n 阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =（5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则1ni i E A λ=-∑ =选择题（共20分） （1） 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘C 加到第j 列相当于对A ：A ， 乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵（2）若A为m×n 矩阵，B是m维非零列向量，()min{,}r A r m n=<。

集合{:,}nM X AX B X R==∈则A，M是m维向量空间，B，M是n-r维向量空间C，M是m-r维向量空间，D，A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足，22A B=，则以下命题哪一个成立A，A B=±，B，()()r A r B=C，det detA B=±，D，()()r A B r A B n++-≤（4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：A，矩阵1A-为正交矩阵，B，矩阵-1A-为正交矩阵C，矩阵*A为正交矩阵，D，矩阵-*A为正交矩阵（5）4n阶行列式111110100-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为：A，1，B，-1 C，n D，-n三、解下列各题（共30分）1．求向量513β⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，在基1231110,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标。

2．设1020200,001A AB A B -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵1B --A3．计算行列式1335199251272712518181625--4.计算矩阵134926631039693394120A -⎛⎫ ⎪----⎪= ⎪---- ⎪-⎝⎭列向量组生成的空间的一个基。

5. 设120201012..................n n n a b b b b a b b A b b a b b b b a ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭计算det A四、证明题（10分） 设12,,,r ξξξ是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系， η不是线性方程组0AX =的一个解，求证ηηξηξηξ,,,,21+++r 线性无关。

五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵22123122313(,,)42f x x x x x x x x x =++-六、（8分）a 取何值时，方程组1231231232325106x x x a x x x a x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 有无数多个解？并求通解七、（4分）设矩阵A，B ，A +B 都是可逆矩阵，证明矩阵11A B --+也是可逆矩阵。

《2007年线性代数A 》参考答案一 填空题 每个四分(0) rankA<rank(A|B) 或者 rankA ≠ rank(A|B)(1) cos 2007sin 2007sin 2007cos 2007θθθθ⎛⎫⎪-⎝⎭(2)t=43± (3) 1± (4) 0二 选择题.(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A三 解答题(1) 设向量β在基123,,ααα下的坐标为123(,,)T x x x ，则112323(,,)x x x αααβ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++3153132321x x x x x x x （4分） ⎪⎩⎪⎨⎧-===326321x x x （6分） (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==+∴=+=+∴-=------100042024200012021100002020)()()(111111E A A B B E A A B A E A A B E A B A AB 则 （2分）（6分）(3)138240238119480238101901115)96(3104239511106322426208478012024240201265331-=-⨯-=--⨯⨯-=-⨯⨯⨯=--.（6分） （4）13513491349002380023800692400005008122700000()3(1,2,3,3),(4,6,6,4),(9,10,3,0)T T TA rank A ααα--⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-⎪⎪--⎝⎭⎝⎭∴==--=--=--一个基（4分）（6分） （5）0121210110220100000000000000()()1ni n n i in n ni i a b a b b b b ab b b a b b a a b a b b a a b a b b a a b a b na ab i i i a b b a b ==-⎛⎫-⎛⎫ ⎪-⎪⎪-- ⎪ ⎪- ⎪=--= ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎪-⎝⎭=+-=∑-∑∏-原式（6分） 四 证明：1231122112212123,,,,,()(),()0(1)3[()(),()]040,()05r r r r r r r k k k k k k k k k A A k k k k AX k k k k k A ξηξηξηηξηξηξηηξξξηη+++++++=-----+++++++=-----=++++=-----------------反证：假设它们线性相关，则存在一组不全为零的数使得用矩阵对上式作用得又，，为方程的一个基础解故不123112212311221212300061070010r r r r r r r r AX A k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ηξξξηξξξξξξ=≠++++=------------------+++++++=--------∴++=∴====----------------是的解故所以由（）得（）又，，线性无关五、A=021210101-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭, (2分) |A E λ- |=221210(1)(5)0101λλλλλλ---=---=--11,2λλ±==（5分）P=0⎛ （7分）21231(,,)f x x x y =+1222y+1223y （8分）六，证明112112112()3124002540022131151061510640065112112000634006532324006500063a a a A B a r r a r r a a a a r r a r r a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛ ⎪ +-↔-- ⎪ ⎪ ---⎝⎭⎝方程组的增广矩阵232()24()2630620123244111128rank A rank A B a x x x a x x x c x c ⎫⎪----⎪⎪⎭=----------------=∴-=------------------+-=⎧⎪=⎨-=-⎪⎩=⎧⎪⎪=+-----------------------⎨⎪=⎪⎩如果方程有无穷多个解则当时原方程有无数个解，且原方程等价于七1111111111111111,,()2,,()A B A B A B A E EB A BB A AB A B A B A B A B A B A B A B ----------------++=+=+=+---∴∴+∴+都是可逆矩阵有可逆也可逆-----------------3也是可逆矩阵是可逆矩阵------------------4,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试（B 卷）《 2007线性代数 》试卷20分）（1） 设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要条件是：（2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θθθθ-⎛⎫=⎪-⎝⎭，则120072007()P A AP --+= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩r 不为3，则r=（4） 若A 为2n+1阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =（5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则221ni i E A λ=-∑ =二、 选择题（共20分）（1） 将矩阵n m A ⨯的第i 列乘c 相当于对A ：A ， 左乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵（2） 若A 为m ×n 矩阵，()min{,}r A r m n =<。

集合{:'0,}m M X X A X R ==∈则 A ，M 是m 维向量空间， B ， M 是n-r 维向量空间 C ，M 是m-r 维向量空间， D ， A ，B ，C 都不对（3）若n 阶方阵A ，B 满足，224A B = ，则以下命题哪一个成立A ， 2AB =±， B ， ()()r A r B =C ， det 2det A B =±，D ， 都不对（4）若A 是n 阶初等矩阵，则以下命题那一个成立： A ，矩阵1A -为初等矩阵， B ，矩阵 -1A -为初等矩阵 C ，矩阵*A 为初等矩阵， D ，矩阵 -*A 为初等矩阵（5）4n+2阶行列式111110100-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为：A ，1，B ，-1C ， nD ，-n三、解下列各题（共30分）1．求向量013β⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，在基1231110,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标。

2．设1020200,2001A AB A B -⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵1B --A3．计算行列式113351199251372712519181625--4.计算矩阵134092663103969300233A -⎛⎫ ⎪----⎪= ⎪---- ⎪--⎝⎭列向量组生成的空间的一个基。