7
4.平面三点Mi(xi , yi) (i=1,2,3) 共线
向量 M1M2 , M1M3 共线
x2 x1 y2 y1 x3 x1 y3 y1
x1 y1 1 x2 y2 1 0 x3 y3 1
例
P148 17题
8
例1 已知
1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 , 4 , 1 , 2 , 3 2 3 a 2 4 b 3 3 5 1 a 8 5
11
R(1 ,2 ,3 ,4 ) 2 R(1 ,2 ,3 ,4 ) 3
1 1 1 1 1 2 0 a 1 0 0 0 a 1 (1) 当 a 1, b 0 时,
1 0 行 0 0
1 1 b 0
例2 已知线性方程组A4×4 X=0有基础解 ξ1 系 1,2, 3,0 , ξ2 2, 1,0,1 , ξ3 1,0, 2,1

A1 B1 C1 D1 ( A b) A2 B2 C2 D2 • R(A)≠R(A b)时,两平面平行但不重合 • R(A)= R(A b)=1时,两平面重合 • R(A)=R(A b)=2时,两平面相交于一条直线
2
此时方程组有无穷多解,有一个自由未知量, 可求出通解为：
12
1 2 1 1 0 1 2 2 1 0 5 4 2 1 ξ1 ξ2 ξ3 1 2 3 4 3 0 2 3 9 3 2 0 1 1 7 1 1 0 1 2 1 1 0 1 2 行 0 1 1 7 5 0 1 0 0 2 0 6 1 1 0 0 0 84 0 7 13 故 2可由 ξ1 , ξ2 , ξ3 线性表示, 所以 2 是该 方程组的一个解, 1 , 3 , 4不能由基础 解系线性表示,所以不是解. 应选(B).
3
2. 三个平面的位置关系
(1) R( A) R( A b) 1 三平面重合,方程组 有无穷多解. (2) R( A) R( A b) 2 三平面交于一条直线, 方程组有无穷多解.
1 : A1 x B1 y C1 z D1 2 : A2 x B2 y C2 z D2 3 : A3 x B3 y C3 z D3
Ai , Bi , Ci
不全为0
4
(3) R( A) R( A b) 3
三平面交于一点, 方程组有唯一解.
(4) R( A) 1, R( A b) 2
三平面平行, 方程组无解.
5
(5) R( A) 2, R( A b) 3 三个法向量共面, 方程组无解.
1
n1 , n2 , n3 0
(1) a,b为何值时, 不能表为1 , 2 , 3 , 4 的线性组合. (2) a,b为何值时, 可唯一表为1 , 2 , 3 , 4 的线性组合.
9
解 (1) 不能表为1 , 2 , 3 , 4 的线性组合
x11 x22 x33 x44 无解. (2) 可唯一表为1 , 2 , 3 , 4的线性组合 一解.
则该方程的一个特解是
( A)(1, 5, 3, 7); (C )(1, 2, 3, 1);
( B)(0, 4, 9, 1); ( D)(2, 1, 2, 0).
解 设 1 (1, 5, 3, 7); 2 (0, 4, 9, 1); 3 (1, 2, 3, 1); 4 (2, 1, 2, 0).
《线性代数与解析几何》 第五章 线性方程组
第二十讲
5.3
线性方程组的 几何应用及习题课
王宝玲
哈工大数学系代数与几何教研室
1
矩阵的秩及方程组的理论可以用来讨 论几何空间中的平面、直线的位置关系. 1. 两个平面的位置关系 1 : A1 x B1 y C1 z D1 Ai , Bi , Ci 2 : A2 x B2 y C2 z D2 不全为0
1 0 (1 , 2 , 3 , 4 ) 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 3 a 2 4 b 3 5 1 a 8 5
10
这时 不能表为1 , 2 , 3 , 4 的线性组合. (2) 当 a 1, b 任意时, R(1 ,2 ,3 ,4 ) R(1,2 ,3 ,4 ) 4 这时 可唯一表为1 , 2 , 3 , 4的线性组合
注 特解代表交线上的一个点,导出组的 基础解系代表交线的方向向量.
x0 m x * t 为任 y X tξ y0 t n , 意常数 . p z z 0 x x0 mt 即 l : y y0 nt , 为直线的参数方程. z z0 pt
2
3
三个法向量中有两 个无关,两个成比例. 三个法向量中任意 交成2或3条平行直线 两个不成比例.
6
3.空间四点Mi (xi, yi , zi ) (i=1,2,3,4)共面
向量 M1M2 , M1M3 , M1M4 共面
M1M2 , M1M3 , M1M4 = 0 x2 x1 y2 y1 z2 z1 x3 x1 y3 y1 z3 z1 0 x4 x1 y4 y1 z4 z1 x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 0 x3 y3 z3 1 x4 y4 z4 1