BA
2 2
2 2
注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB 不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵, 但是 AB = 0.
例4
设
A
1 2
2 4 ,
B
1 2
3 1 ,
C
7
1
1 2 ,
求 AB 及 AC.
解
AB
1 2
2 1 4 2
3 1
5 10
5 10 ,
AC
1 2
2 7
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1 a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
例3
设
A
1 1
1 1 ,
B
1 1
1
1
则
b1 j
ais
b2 j
cij
bs j
总结如下:
可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B
的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数.
运算性质: (A是mn的矩阵)
(1)0 pm A 0 pn , A0nq 0mq (2)Em A = A , AEn = A (3) A(BC) ( AB)C (4) A(B + C) AB + AC
由 n 阶方阵A的元素按原来的位置组成 的行列式称为方阵A的行列式,记为 |A|,即
a11 a12
a1n
| A | a21 a22
a2n
an1 an2
ann
21
运算性质(定理2.1): 设A, B, Ai 为 n 阶方阵, k 为数, 则有 (1) kA k n A , A (1)n A (2) | AB |=| A | | B | (行列式乘法公式) (3) | A1A2 As || A1 || A2 | | As | (4) Am A m
4
1
1 2
5 10
5 10
.
注意: 虽然A不是零矩阵, 而且AB=AC,
但是B不等于C.这说明消去律不成立!
总结一下矩阵乘法的一些反常性质:
不满足交换律: AB BA 不满足消去律: AB = AC B = C 可能有零因子: AB 0 A 0或 B 0
A 0且 B 0 AB 0
如果 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换.
祝 大 家 中秋节 快 乐 !
预习2.3-2.4
18
2.2.4 方阵的幂
AA有意义当且仅当A为方阵.
对于方阵相乘可以定义乘幂的概念:
A1 A, A0 E
Ak
1
Ak
A,
k 1, 2,
运算性质:
Ak Al
(
Ak
)l
Ak l Akl
因为矩阵乘法不满足交换律,所以对于
《线性代数与空间解析几何》
第二章
矩阵
王宝玲
哈工大数学系代数与几何教研室
2007.9
本章主要内容
矩阵的概念及运算 可逆矩阵* 矩阵的初等变换与初等阵 矩阵的秩 分块矩阵
2
2.1 矩阵的概念
2.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
(B + C)A = BA + CA 学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什
么熟知的运算规律.特别是乘法运算.
2 3 1 1
例1 设 A 1 2 1 , B 0
求 AB .
0 3 1
2
解
2 1
3 2
1 1 21 30 1 2 4 1 0 11 2 0 (1) 2 1
0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
am1 am2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
amn
简记为 Amn (aij )mn
当 m=n 时称为n 阶方阵.
矩阵同形它们行数和列数相同. 矩阵相等它们同形且对应元素相等.
方阵的行列式: | A || aij |nn 或 det Α .
2.特殊矩阵
零矩阵: 0mn, 0
1A A, 0A 0
2.2.3 矩阵乘法
Α (aij )ms , Β (bij )sn ,,则 C = AB (cij )mn
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj
s
aikbkj , i 1,L , m; j 1,L , n. k 1
ai1 ai2
负矩阵: Α (aij )mn (aij )mn 减 法: A B A (B)
运算性质: A+ B = B + A, (A+ B) C A (B + C)
A 0 A, A (A) 0
8
2.2.2 数乘
kA k (aij )mn (kaij )mn
运算性质:
k (lA) (kl) A k(A+ B) kA kB (k l) A kA lA
同阶方阵A与 B, 一般 (AB)k Ak Bk .
19
矩阵多项式
设 f (x) an xn an1xn1 L a1x a0
A是方阵，则称
f ( A) an An an1 An1 L a1 A a0 E
为A的矩阵多项式，f ( A) 仍是方阵.
20
2.2.5 方阵的行列式及乘法公式
L an
ann
a1
列矩阵:
a2
M
an
2.2 矩阵运算
矩阵的线性运算 矩阵的乘法运算 方阵的幂及行列式
的乘法公式 矩阵的转置
2.2.1 矩阵的加法: ( A与B 要同形).
加 法: Α (aij )mn Β (bij )mn A + B = C (cij )mn (aij bij )mn
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 En diag(1,1,
数(纯)量矩阵: Α diag(c, ,c)
, ann )
,1)
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
a11
下三角矩阵:
a21
an1
行矩阵: a1 a2
a22
an 2
22
例1 设A为3阶方阵, B为4阶矩阵, 且|A|=3, | B |=-2, 则||B| A|= -24 .
解 ||B| A|=|-2A|=(-2)3| A |=(-8)3=-24.
例2 设A为n阶矩阵, k为非零常数,则
|-k A|=
.
(A) –k| A |
(B) k| A |
(C) (-1)nk n| A | (D) kn| A |