对极坐标平面中任意一点A( , )( 0, π π)
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( , ) (1)点A关于极轴对称的点为_________ (2)点A关于垂直于极轴的直线 (, π ) 对称的点为________
( ___ , _____ π) (3)点A关于极点对称的点为__
P

O X
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四、2、负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
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四、4、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点 （3，/4） 和（-3，/4）
P M O P X
[1]作射线OP，使XOP= /4
[2]在OP的上取一点M，使 OM= 3
[1]作射线OP，使XOP= /4
[2]在OP的反向延长线上 取一点M，使OM= 3 O X
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变式:在极坐标系中,若等边三角形的两顶点
π 5π 是A(2, ) ,B(2, ) , 4 4
那么顶点C的坐标可能是(
)
3π A.(4, ) 4 C .(2 3, π)
3 π B.(2 3, π)或(2 3, ) 4 4 D.(3, π)
π 2
5π 6
π
E. • F 4π •
3
•C D • • • B •A x O G • 5π 3
π 4
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题组一：说出下图中各点的极坐标

2
5 6
C E D O B A X

4

4 3
F
G
5 3
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四、1、负极径的定义 说明：一般情况下，极径都是正值；在某些 必要情况下，极径也可以取负值。（？） 对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= M
对于平面内任意一点M，用 表示极点与 点M的距离，叫做点M的极径, 表示以Ox为 始边,OM为终边的角，叫做点M的极角,有序 数对（，）就叫做M的极坐标. .M(ρ,θ） 例如：以上实例中，走 私船、敌机所在点的极 坐标分别是： (1)（5，20º ），

O
x
(2)(40,

5
)
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4
)
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如果限定ρ≥0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
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小结 极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？ 无数，极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？
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与角α终边相同的角： β=α+2kπ,k∈Z 平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _____ 一一 对应的.
y 平面直角坐标系是最简单 最常用的一种坐标系，但不是 唯一的一种坐标系. 有时用别 的坐标系比较方便.
在以上问题中，位置的确定是用
什么方法确定的？ 距离与方向
在生活中人们经常用方向和距离来表 示一点的位置：如台风预报、地震预 报、测量、航空、航海等. 这种用方向和距离表示平面上一点的位 置的思想，就是极坐标的基本思想.
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一、极坐标系的建立：
特别强调：以后不特别声明， 0 。
因为，负极径只在极少数情况用。
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五、极坐标系下点的极坐标
探索点M（3，/4）的所有极坐标
P M O X
[1]极径是正的时候：
2k 3， 4
[2]极径用“-3”
（ 3， 2k
M
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四、5、负极径的实质 从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射线 OP“反向延长”。
而反向延长也可以说成 旋转 ，因此，所谓“负极 径”实质是管方向的。这与 数学中通常的习惯一致，用 “负”表示“反向 ”。 O
P M X P O X
b
O
P(a,b)
.
a
x
还有什么坐标系呢？
我们先看下面的问 题.
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如何确定以下两船 的位置关系呢？ （1）距离：5 海里
（2）方向：东偏北20º .
发现走私!!!
20º
拯救船
O
x
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π 2kπ+ 4， 本题点M的极坐标统一表达式： 4

M
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极坐标系下的 点与它的极坐 标的对应情况
探究
① 平面上一点的极坐标是否唯一？
② 若不唯一，那有多少种表示方法？
③ 坐标不唯一是由谁引起的？ ④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
距离40 km
π 方向： 4
O
x
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从这向南 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
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2.边长为a的正六边形OABCDE在极坐标系中 的位置如图所示，求这个正六边形各顶点
的极坐标。
5π A( a , ) 解：O(0, 0)， 3 O
E
D
C B
11π B( 3a , ) C(2a, 0) 6 A π π D( 3a , ) E ( a , ) 3 6
x
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3.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆, 图 书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的 极坐标系,写出各点的极坐标. C D 解:以点A为极点,AB所在
120m E 450 度为1 m),建立极坐标系. 50m B 0 A ( O ) 60 则点A,B,C,D,E的极坐 60m 标分别为
你能体会极坐标与直角坐标系在刻画
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三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角。 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同，也 就是说它们是终边相同的角。
的射线为极轴(单位长
x
π π 3π A(0, 0), B(60, 0),(120, ),(60 3, ),(50, ). 3 2 4
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练习：在同一个极坐标中描出以下各点： π π π π A(4, ), B(4, 2 ), C (4, 4 ), D(4, 2 ) 6 6 6 6 [思考]它们所表示的点有什么关系？ 点的位置时的区别吗？
M
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品质来自专业 信赖源于诚信源自练习：写出下列各点的负极径的极坐标
（3，/4） （3，-/4）
答：（-3， + /4） （-3， - /4）
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负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
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极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
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(1)给定（,）,在极坐标平面内确定可唯一的一点 M
(2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应
原因在于：极角有无数个 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ) 都可以作为它的极坐标.
如果限定ρ＞ 0, 0≤θ＜2π 特别强调： 一般情况下（若不作特别说明时），认为 ≥ 0.
或－π＜θ≤ π,
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
π Ex设点A(2, )，直线l为过极点且垂直于极轴 6 的直线，分别求点A关于极轴、直线l、极点 的对称点的极坐标（限定 0, π π )
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四、3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正 的。现在所说的“负极径”中的“负”到底 是什么意思？ 有比较才能有鉴别！
把负极径时点的确定过程，与正极径时 点的确定过程相比较，看看有什么相同，有 什么不同？
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(1)在平面内取一个定点O，叫做极点； (2)引一条射线Ox，叫做极轴； (4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向). 这样建立的坐标系叫做极坐标系. · O θ
(3)选定1个长度单位、1个角度单位（常取弧度）；
x
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二、极坐标系内点的极坐标的规定
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三、特别规定：
当 M 在极点时，它的极径=0，极角 可以取任意值.如：极坐标(0,π)，(0,-30º ), (0，0)，…等都是表示极点. (你能再说出几个来吗？)