四边形之动点问题（习题）
➢例题示范
例1：如图，直线y = 3x +6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与
直线y =- 3
x 交于点C．动点E 从点B 出发，以每秒1 个单位长3
度的速度沿BO 方向向终点O 运动，动点F 从原点O 同时出发，以每秒1 个单位长度的速度沿折线OC-CB 向终点B 运动，当其中一点停止时，另一点也随之停止．设点F 运动的时间为t（秒）．（1）求点C 的坐标；
（2）当3 ≤t ≤6 时，若△BEF 是等腰三角形，求t 的值．
1
3 ⎪ 【思路分析】 1.
研究背景图形 由直线表达式 y =
3x + 6 ， y = - 3
x ，可知两直线垂直，
3
且 OA = 2 3，OB = 6，∠ABO = 30 o ， 得到∠COB = 60o ，OC = 3，BC = 3 ；
C ⎛ - 3 3 3 ⎫ 同时，联立直线表达式可知， ⎝ 如图，
， ． 2 2 ⎭
2.
分析运动过程，分段，定范围
①分析运动过程：动点 E 和 F 运动的起点，终点，速度；状态转折点；时间范围；所求目标．根据状态转折点 C 对运动过程进行分段，确定每段对应的时间范围分别为0 ≤ t < 3 和 3 ≤ t ≤ 6 ．如图，
②分段之后可知，当3 ≤ t ≤ 6 时，点 F 在线段 BC 上；分析 △BEF ，B 是定点，E ，F 是动点．若使△BEF 是等腰三角形， 需要分三种情况考虑：BE =BF ，BE =EF ，BF =EF ．
3 3 2 2 ⎭
⎝ 3 ⎫ 3 3 ⎛ ∴ C - ， ⎪
3
（1）∵直线 y = 3x + 6 与直线 y = -
3
x 交于点 C 3.
分析几何特征、表达、设计方案求解 ①当 BE =BF 时，画出符合题意的图形从动点的运动开始表达，可得 BE =t ， BF = 3 + 3 到 t 值． - t ，根据 BE =BF 即可得 此时， t =
3 + 3 3
2
②当 BE =EF 时，画出符合题意的图形；从动点的运动开始表达，可得 BE =t ，BF = 3 + 3 - t ，根据 BE =EF 且∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 E 作 EN ⊥BC 于点 N ，在Rt △BEN 中建立等式即可得到 t 值． 此时，t =3
③当 BF =EF 时，画出符合题意的图形；从动点的运动开始表达，可 得 BE =t ， BF = 3 + 3 - t ， 根据 BF =EF ，且∠OBA =30°，利用等腰三角形三线合一，过点 F 作 FM ⊥ BO 于点 M ，在 Rt △BFM 中建立等式即可得到 t 值． 此时， t = 3
【过程书写】
3 3
（2）当3 ≤t ≤6 时，点F 在线段BC 上，若使△BEF 是等腰三角形，分三种情况考虑：
①当BE=BF 时，如图，
由题意得，BE=t，BF = 3 + 3 3 -t
∴t = 3 + 3 3 -t
∴t =3 + 3
2
3
，符合题意
②当BE=EF 时，如图，过点E 作EN⊥BC 于点N ∴BN=NF
∵BF = 3 + 3 3 -t
∴BN =
3 + 3∵BE =t
3 + 3 3 -t 3 -t
2
∴ 2 =t
32
解得，t=3，符合题意
③当BF=EF 时，如图，过点F 作FM⊥BE 于点M ∴BM=ME
∵BE=t
∴ BM =
t
2
∵BF = 3 + 3 3 -t
t
∴ 2
3=
3 + 3 3 -t
2
解得，t = 3 3 ，符合题意
综上，若△BEF 是等腰三角形，则t 的值为3 + 3 3
，3 或3 3 2
➢巩固练习
1.如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4，
DC=6，BC=7，梯形的高为3 3 ．动点M 从点B 出发，沿BC 以每秒1 个单位长度的速度向终点C 运动，动点N 从点C 出发，沿C—D—A 以每秒2 个单位长度的速度向终点A 运动．M，N 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停
止运动，设运动的时间为t 秒（t >0）．
（1）用t 表示△CMN 的面积S；
（2）当t 为何值时，四边形ABMN 为矩形？
（3）当t 为何值时，四边形CDNM 为平行四边形？
2.如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，AD∥BC，AD=4 cm，
BC=9 cm，CD=10 cm．动点P 从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿折线AD-DC 向点C 运动；动点Q 从点C 同时出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向点B 运动．当点P 到达点C 时，动点Q 随之停止，设运动的时间为t 秒．
（1）当t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？
（2）当t 为何值时，PQ⊥DC？
3. 如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm．点
P 从点A 出发，沿AB 以2cm/s 的速度向点B 运动，点Q 从点
C 同时出发，沿CA 以1cm/s 的速度向点A 运动．设运动的时
间为t 秒（0 <t < 6 ）．
（1）直接写出线段AP，AQ 的长（用含t 的代数式表示）：AP= ，AQ= ；
（2）如图2，连接PC，把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP'C，则四边形PQP'C 能否成为菱形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？
图1
图2
备用图
➢思考小结
1.什么是动点问题？
由速度已知的点的运动产生的几何问题称为动点问题．
2.我们一般怎样处理动点问题？
首先，研究背景图形．
把函数信息（坐标或解析式）转化为背景图形的信息
其次，分析运动过程，分段、定范围．
分析运动过程常借助运动状态分析图：
①起点、终点、速度——确定时间范围
②状态转折点——决定分段
③所求目标——明确方向
最后，分析几何特征、表达、设计方案求解．
分段画图、表达相关线段长，列方程求解，回归范围进行验证．
3.线段长的表达，需要注意的两点是什么？
①路程即线段长，可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程；
②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情
况，又要结合基本图形信息．
【参考答案】
⎧- 3
t 2 + 7 3 t （0 < t ≤ 3） 1
⎪ 2 2 ．（1） S = ⎨
⎪- 3 3 t + 21 3（3 < t ≤ 5） ⎪⎩ 2 2 （2） t = 10
3 （3） t = 13
3 2．（1） t = 4
3 （2） t = 28
5
3．（1）2t ，6-t （2）能，相应的 t 值为 4 （3）t =2。