否则最大静摩擦力不足以维持m在
斜面上不动。
mg
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
g sin 2R cos g cos 2Rsin
讨论：由μ>0,可得：gcosθ-ω 2 Rsinθ>0
所以： tan
g
2R
当
tan
g
2R
时，物体不可能在锥 面上静止不动
例2、顶角为2的直圆锥体，底面固定在水平面上，
如图所示。质量为m的小球系在绳的一端，绳的另
y
求：x= -4m时（t>0)
x
粒子的速度、速率、 加速度。
解：
x t 2 (SI)
y t 4 2t 2 (SI)
dx
t2
vx dt 2t
vx 4 m s
vy
dy
dt
4t 3
4t
v 4i 24 j m / s
t2
v
v y 24 m s
v
2 x
v
2 y
4
37 m s
ax
dv x dt
( Fx dx
Fydy)
2 x2 ydx
x1
y24dy
y1
31
94
( x 6)dx 4dy 21.25J
2 2
1
3X 做 功 与 路 径 有 关
例2、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面， 忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功 是多少？
a 解：取地心为原点，引力与矢径方向相反 h b
O
T cos N sin mg 0
l
r l sin
(1)N mg sin m 2l sin cos
H
T mg cos m2l sin 2
(2) c N 0 c g / l cos T mg / cos
例3. 质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当
它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为
v2
30o
45o
n
v1
解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，
忽略重力影响。设挡板对球的冲力为 F 则有：
I F dt mv2 mv1
取坐标系，将上式投影，有：
I x Fxdt mv2 cos 30 (mv1 cos 45 )
y v2
Fxt
O
I y Fydt mv 2 sin 30 mv1 sin 45
例1 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j(N ) 在下列情况下求质点从 x1 2(m)处运动到 x2 3(m) 处该力作的功： 1. 质点的运动轨道为抛物线 x2 4 y
2. 质点的运动轨道为直线 4 y x 6
Y x2 4y
2.25
4y x6
1
2 O 3 X
B
W A F • dr
3、若人以变速率运动， 上述结论如何？
o l 解：以人和车为研究
系统，取地面为参照
系。水平方向系统动
量守恒。
•
(M m)v0 Mv m(u v)
u M
x
m v0
•
v
(M m)v0 Mv m(u v)
1、
v
v0
m M
m
u
v0
m M
m
l t
2、
s
vt
(v0
m M
m
l t
)t
v0t
m M
m
l
3、
m v v0 M m u
m
u
v0
M
ox
• s
t
vdt
0
t
0 (v0
mu )dt M m
•l
v
v0t
m M
m
l
例二、 质量为2.5g的乒乓球以 10m/s的速率飞来，被板推挡后，又 以20m/s的速率飞出。设两速度在垂 直于板面的同一平面内，且它们与 板面法线的夹角分别为45o和30o，求： （1）乒乓球得到的冲量；（2）若 撞击时间为0.01s，求板施于球的平 均冲力的大小和方向。
d2x dt 2
2ms 2
练习 a y ? ay 12t 2 4 44(ms 2 )
例
v0
l
h
求：船的速率
s
解： s l 2 h2
dl dt v0
ds v
dt
l dl dt
l 2 h2
l s v0
v0 cos
v0
v0
v
h
? l v0
s
v
v v0 cos
v v0 cos
b
a
Fxdx Fydy
F 2 yi 4 j(N )
Fzdz
4y
x
6
Y x2 4y
2.25 1
W1
x2 , y2 x1 , y1
(
Fx
dx
Fydy
)
2 x2 ydx
x1
y24dy 2
y1
O
3 x2
94
dx 4dy 10.8J
2 2
1
W2
x2 , y2 x1 , y1
常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的
关系为
v
mg F
kt
(1 e m )
k
F
式中t为从沉降开始计算的时间
证明：取坐标，作受力图。
f
根据牛顿第二定律，有
mg kv F ma m dv dt
a x
mg
mg kv F ma m dv dt
初始条件：t=0 时 v=0
v
dv
A D
C B
解：建立坐标系并作受力分析图： Y
N2
F
D
T
T
O N1
T A
X T
B
Mg 列方程：
m1g 解出：
m2g
T＝m1ax
T sin m2ax
ax
m2 g m12 m22
T cos m2 g
F (m1 m2 M )m2 g =784N
F T T sin Max
m12 m22
(2) vx v0,vy gt
y
v0
x
an
a
g
v v0 i gt j
v vx2 vy2 v02
dv g2t
at
dt
v02 g2t2
g2t2
an
tan
1
gt v0
g2at2
v0g v02g2t2
与速度同向
与切向加速度垂直
四、牛顿定律的应用 例1、在倾角为的圆锥体的侧面放一质量为m的小 物体，圆锥体以角速度绕竖直轴匀速转动。轴与 物体间的距离为R，为了使物体能在锥体该处保持 静止不动，物体与锥面间的静摩擦系数至少为多 少？并简单讨论所得到的结果。
v0 8m s v1 0 v2 8 m s
与x轴正向相同 此时转向 与x轴正向相反
练习 1.一质点由静止开始作直线运动，初始加速度
为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，
求经过t秒后质点的速度和运动的距离。
解：据题意知，加速度和时间的关系为：
a
a0
a0
t
a dv dv adt dt
R
ω
x : N cos N sin m 2R
y : N sin N cos mg 0
R
cos sin 2R sin cos g
ω
g cos g sin 2Rcos 2Rsin
g sin 2R cos g cos 2Rsin
N
y fs
x
对给定的ω、R和θ，μ不能小于此值
1 2
a
at
2
为常矢v 量dr dt
v0
at
(r0,v0) 抛体运动
初始条件给定.
典型的匀加速运 动，a
g
运动平面在 (v0 , g) 内
运动叠加和运动的独立性
y
x0 y0 0 ax 0 ay g
v0
v0x v0 cos v0y v0 sin
0
x
y
v0
0
x0 y0 0
v0x v0 cos
3、河宽为d，岸边处水流速度为零。设中间流速 为v0，从岸边到河心，流速按正比增大。某人划船 以不变的划速u垂直于水流方向从岸边划到河心， 求：(1)船的运动方程； (2)船的轨道方程。
x v0u t2 d
y ut
x v0 y2
d
ud
y
v0
u
o
x
vx ky
vy u
y d 2
则有
时， v
2
为v2与x轴的夹角
练习.一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的
关系为 x=10+8t-4t2,求：
（1）质点在第一秒第二秒内的平均速度。
（2）质点在t=0、1、2秒时的速度。
解：（1）t时刻 x 10 8t 4t 2
t t时刻 ( x x) 10 8(t t) 4(t t)2
例1、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子 弹，取枪口为原点，沿v0为x轴，竖直向下 为y轴，并取发射时t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程；
(2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向 加速度。
解：(1) x v 0 t y 1 gt 2
o
1 x2g
y 2
v
2 0
2
x 0
W
R
F •dr
Rh
R
Mm
G
Rh
r2
dr
R o
GMm