习题六6—1 一轻弹簧在60N得拉力下伸长30cm。

现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧得下端,并使之静止,再把物体向下拉10cm,然后释放并开始计时。

求:(1)物体得振动方程;(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体得拉力;(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起,到它运动到上方5cm处所需要得最短时间。

[解] (1)取平衡位置为坐标原点,竖直向下为正方向,建立坐标系设振动方程为x=cos(7、07t+φ)t=0时, x=0、1 0、1=0、1cosφφ=0故振动方程为x=0、1cos(7、07t)(m)(2)设此时弹簧对物体作用力为F,则:F＝k(Δx)=k(x0 +x)=mg/k=40/200=0、2(m)其中x因而有F= 200(0、2-0、05)=30(N)(3)设第一次越过平衡位置时刻为t1,则:0=0、1cos(7、07t1 ) t1 =0、5π/7、07第一次运动到上方5cm处时刻为t2,则-0、05=0、1cos(7、07t2) t2=2π/(3×7、07)故所需最短时间为:Δt=t2 -t1 =0、074s6—2 一质点在x轴上作谐振动,选取该质点向右运动通过点A时作为计时起点(t＝0),经过2s后质点第一次经过点B,再经2s后,质点第二经过点B,若已知该质点在A、B两点具有相同得速率,且AB=10cm,求:(1)质点得振动方程:(1)质点在A点处得速率。

[解] 由旋转矢量图与可知s(1) 以得中点为坐标原点,x轴指向右方。

t=0时,t=2s时,由以上二式得因为在A点质点得速度大于零,所以所以,运动方程为:(2)速度为:当t=2s时6—3 一质量为M得物体在光滑水平面上作谐振动,振幅为12cm,在距平衡位置6cm处,速度为24,求:(1)周期T; (2)速度为12时得位移。

[解] (1) 设振动方程为以、、代入,得:利用则解得(2) 以代入,得:解得: 所以故6—4 一谐振动得振动曲线如图所示,求振动方程。

[解] 设振动方程为:根据振动曲线可画出旋转矢量图由图可得: φ=2π/3ω=Δφ/Δt=(π/3+π/2)/2=5π/12故振动方程为x=10cos(5πt/12+2π/3) (cm)6—5 一质点沿x轴作简谐振动,其角频率,试分别写出以下两种初始状态得振动方程;(1)其初始位移＝7、5 cm,初始速度;(2)其初始位移＝7、5 cm,初速度。

[解] 设振动方程为x=A cos(10t+φ)(1) 由题意得: 7、5=Acosφ75=-10A sinφ解得: A=10、6cm故振动方程为:x=10、6cos(10t)(cm)(2) 同理可得:x=10、6cos(10t)本题用旋转矢量法更为直观。

另外,同学们在做作业时,不要用“同理可得”。

6—6 一轻弹簧在60 N得拉力作用下可伸长30cm。

现将一物体悬挂在弹簧得下端并在它上面放一小物体,它们得总质量为4kg待其静止后再把物体向下拉10cm,然后释放。

问:(1)此小物体就是停止在推动物体上面还就是离开它?(2)如果使放在振动物体上得小物体与振动物体分离,则振幅A需满足何条件?二者在何位置开始分离?[解] (1)小物体停止在振动物体上不分离。

(2) 设在平衡位置弹簧伸长,则又故当小物体与振动物体分离时,即,故在平衡位置上方0、196m处分离。

6—7 一木板在水平面上作简谐振动,振幅就是12cm,在距平衡位置6cm处,速度就是24。

如果一小物块置于振动木板上,由于静摩擦力得作用,小物块与木板一起运动(振动频率不变),当木板运动到最大位移处时,物块正好开始在木板上滑动,问物块与木板之间得静摩系数就是多大?[解] 设振动方程为x=12cos(ωt+φ)则:v=-12ωsin(ωt+φ)以x=6cm v=24cm/s代入得:6=12cos(ωt+φ)24=-12ωsin(ωt+φ)解得ω=最大位移处:由题意,知6—8 两根倔强系数分别为与得轻弹簧串接后,上端固定,下端与质量为m得物体相连结,组成振动系统。

当物体被拉离平衡位置而释放时,物体就是否作谐振动?若作谐振动,其周期就是多少?若将两弹簧并联,其周期就是多少?[解] (1) 串接:当弹簧、与物体静止时,将串接得两弹簧瞧作一个弹性系数为k得弹簧,由于,得到选平衡位置为坐标原点,正方向朝下。

分析受力,根据牛顿第二定律。

由于,代入得到,符合第二个判据,所以该系统得运动就是简谐振动。

其角频率因此周期(2) 并接:当弹簧、与物体静止时,将并接得两弹簧瞧作一个弹性系数为k得弹簧,由于,得到选平衡位置为坐标原点,,正方向朝下。

分析受力,根据牛顿第二定律。

由于,代入得到,符合第二个判据,所以该系统得运动就是简谐振动。

其角频率因此周期6—9 在竖直平面内半径为R得一段光滑圆弧轨道上放一小物体,使其静上于轨道得最低点,如图所示。

若触动小物体,使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动,试证明:(1)此物体作谐振动;(2)振动周期。

[证明] 取最低点为平衡位置,物体与O点连线偏离得角为。

(1) 物体与O点连线偏离角时,指向平衡位置得力矩,很小,故,所以可见该力矩为指向平衡位置得线形回复力矩,故物体作谐振动。

(2) 因为所以因此所以6—10 如图所示,半径为R得圆环静止于刀口点O上,令其在自身平面内作微小得摆动。

(1)求其振动得周期;(2)求与其振动周期相等得单摆得长度。

[解] (1)设圆环偏离角度为,所作振动为谐振所以(2) 单摆周期为得摆长为。

6—11 如图所示,质量为m、半径为R得半圆柱,可绕圆柱得轴线O在重力作用下作微振动,已知半圆柱得质心在距轴处,求其振动周期。

[解] OC偏离中垂线角时指向中间得力矩根据转动定理其中代入得即所以因此6—12 测量液体阻尼系数得装置如图所示。

若在空气中测得振动频率为,在液体中测得振动频率为,求在液体中物体振动时得阻尼因子。

[解] 在空气中振动方程为在液体中振动方程(为阻尼系数)对应得振动角频率则即所以6—13 一弹簧振子,当位移就是振幅之半时,该振动系统得动能与总能量之比就是多少?位移为多大时,动能与势能各占总能量之半?[解] 设振幅为A,弹簧倔强系数为k,(1) 当位移就是振幅之半时(2) 位移为x时,动能、势能各占总能量得一半则有所以6—14 一弹簧振子,弹簧得倔强系数,当物体以初动能0、2J与初势能0、6J振动时,(1)求谐振动得振幅;(2)位移就是多大时,势能与动能相等?(3)位移就是振幅之半时,势能就是多大?[解] (1) 设振幅为A,由机械能守恒定律,得kA2 /2=0、2+0、6A=(1、2/25)1/2 =0、253 (m)(2) 动能、势能相等时有:kx2 /2=0、4x=±0、179 (m)(3) 位移为振幅一半时,势能为=0、5k(0、5A)2=E/4=0、2 (J)6—15 如图所示,有一水平弹簧振子,弹簧得倔强系数,重物得质量为m＝6 kg,重物静止在平衡位置上。

设以一水平恒力F＝10 N向左作用于物体(无摩擦),使之由平衡位置向左运动了0、05 m,此时撤去力F。

当重物运动到左方最大位置时开始计时,求物体得振动方程。

[解] 以平衡位置为坐标原点,向右为正方向建立坐标系, 设振幅为A,由动能定理可得: FS＝kA2 /2A=(2FS/k)1/2=(2×10×0、05/24)1/2=0、204 (m)ω=(k/m)1/2 =2 (rad/s)又因物体运动到左边最大位移处开始计时,故初相为π故得运动方程为: x=0、204cos(2t+π) (m)本题必须建立坐标系,否则,相位不能确定。

6—16 两谐振动得振动方程分别为(SI)试求其合振动得振幅与初相位。

[解] 由振动合成公式,得:6—17 两个同方向、同频率得谐振动,其合振动得振幅为20cm,合振动与第一个谐振动得相位差为。

若第一个谐振动得振幅为cm,求第二个谐振动得振幅及第一、二两谐振动得相位差。

[解] 由题意可画出两简谐振动合成得矢量图,由图知易证故第一、二两振动得相位差为6—18 质量为0、4kg得质点同时参与两个互相垂直得振动(S1)求:(1)质点得轨迹方程;(2)质点在任一位置所受得作用力。

[解] (1) y方向得振动可化为消去三角函数部分可得质点得轨迹方程为(2) 由可得同理因此6—19 一平面简谐波沿x轴正向传播,振幅A＝10cm,圆频率,当t＝1、0s时,x＝10cm处质点得位移为零,速度沿负方向,此时x=20cm处质点得位移为5、0cm,速度沿正方向。

已知波长>10cm,试写出该波得波函数。

[解] 由已知得A＝0、1m, ,波沿x轴正向传播,故可设波函数为:(m)当t=1s 时,x=0、1m处,y=0m 故故有: (1)对t=1、0s ,x=0、2m 处,有故有: (2)对(1)、(2)两式k取相同得值得根据就是>10cm由(1)、(2)得:故所求波函数为6—20 一简谐波得周期T=0、5s,波长=10 m,振幅A＝0、1 m。

当t=0时刻,波源振动得位移恰好为正方向得最大值。

若坐标原点与波源重合,且波沿Ox轴正向传播;求:(1)此波得波函数,(2)时刻,处质点得位移;(3)时刻, 处质点得振动速度。

[解] (1)由已知条件,可设波函数为:由已知t=0,x=0时,y=0、1m故由此得因而波函数为(2) ,处:(3) ,处,振动速度为6—21 一平面简谐波沿Ox轴正向传播,其振幅为A,频率为,波速为u。

设时刻得波形曲线如图所示。

求:(1)x=0处质点得振动方程;(2)该波得波函数。

[解] (1) 设x处该质点得振动方程为:所以,得时:,所以x=0处得振动方程为:(2) 该波得波函数为:6—22 根据如图所示得平面简谐波在t=0时刻得波形图,试求:(1)该波得波函数;(2)点P 处得振动方程。

[解] 由已知,得u=0、08m/s,λ=0、4m(1) 设波函数为:当t=0,x=0时因故则波函数为:(2) 将P点坐标代入上式,得6—23 已知一简谐平面波得波函数为。

(1)试求t=4、2s时各波峰位置得坐标表示式,井计算此时离原点最近得一个波峰得位置,该波峰何时通过原点?(2)画出t＝4、2 s时得波形曲线。

[解] (1) 波峰位置满足条件所以显然k=0、8时,x=-0、4,离坐标原点最近,设通过原点时刻为t,则所以(2) t=4、2s时得波形曲线6—24 一平面简谐波沿Ox轴正向传播,其振幅与角频率分别为A与,波速为u。

设t＝0时得波形曲线如图所示。

(1)写出该波得波函数;(2)求距点O分别为与两处质点得振动方程;(3)求距点O分别为与两处质点在t＝0时得振动速度。

[解] (1) 波函数(2) 时,时,(3)6—25 如图所示为一平面简谐波在t=0时刻得波形图,试画出点P处质点与点Q处质点得振动曲线,然后写出相应得振动方程。