理论力学
电子科技大学物理电子学院 付传技
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第三章 刚体力学
刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
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我们分别用Ox1x2x3(或Oxyz)和Ox1x2 x3(或Oxyz) 来标志空间坐标系和本体坐标系，它们的单位矢量
分别为e和e（ ＝1, 2,3或x, y, z）。
本体系相对于空间系的取向可以用其单位矢量e1， e2，e3在空间系中的9个方向余弦来描写：
cos(e , e ) e e a （＝1, 2,3）
或a a (行行正交)a a (列列正交)
这些关系通常叫做正交条件。满足正交条件 的矩阵叫正交矩阵，相应的变换称为正交变换。
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根据Kronec ker 符号 对指标的交换的对称性
可知，9个正交条件实际上只有6个独立（3个对角 ，3个非对角），所以独立的方向余弦数目为
9－6＝3
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2）Aˆ的行列式为1.即 det Aˆ 1ˆ 证：对正交条件两端取行列式，并注意到 det AˆT det Aˆ，得 det Aˆ 1ˆ 因为不转动（恒等变换）为连续转动的一种 特例，它所对应的变换矩阵为单位阵，所以 只能取正号。
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4）定点转动
定点转动的独立变量有三个，其中两个 确定转动轴的方向，一个确定其它点绕轴转 动的角度。
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Euler定理
定点运动刚体的任何位移都可以通过 绕过该定点某轴的一次转动来实现。
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5）一般运动(Chasles定理)
刚体的最一般位移可以视为其上任意一点的平移加上 绕该点的一个转动，即
刚体的一般运动＝基点的平动＋绕基点的转动
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第三章 刚体力学
§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 欧勒角 §3.4 刚体运动方程与平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动
§3.7 刚体的平面平行运பைடு நூலகம் §3.8 刚体绕固定点的运动
§3.9 重刚体绕固定点转动的解 §3.10 拉莫尔进动
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§3.1 刚体运动的分析
x2
a21
a22
a23
x2
x3 a31 a32 a33 x3
或简记为 rˆ Aˆ rˆ
矩阵Aˆ称为转动矩阵或变换矩阵。
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转动矩阵的性质：
1）Aˆ是可逆的，且其逆阵就是自身的转置 Aˆ－1＝AˆT 证：设从空间系到本体系的变换矩阵为Aˆ，按Euler 定理，也存在从本体系到空间系的变换矩阵Aˆ ，于是
rˆ Aˆ rˆ Aˆ Aˆrˆ 因为rˆ是任意的，所以 Aˆ Aˆ＝1ˆ 1ˆ为单位阵，对调空间系和本体系的地位，可知上式 中Aˆ与Aˆ 的位置也可以交换，所以Aˆ是可逆的，逆阵与 逆变换相对应。
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转动不改变位矢的长度，所以 rˆT rˆ ( Aˆ rˆ)T Aˆ rˆ rˆT ( AˆT Aˆ)rˆ rˆT rˆ 由rˆ的任意性可得 AˆT Aˆ＝1ˆ 这表明Aˆ的逆矩阵就是其转置。 这个结论还可以写成 Aˆ AˆT＝AˆT Aˆ＝1ˆ
1. 描写刚体位置的独立变量
质点3个变量
质点组3n个变量
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确定刚体在空间的位置，需要几个变量？
B
A
C
6个变量可以确定刚体位置
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2. 刚体运动的分类 1）平动
平动的独立变量为三个
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2）定轴转动
世界最大的摩天轮——“伦敦眼”
定轴转动的独立变量只有一个
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3）平面平行运动
平面平行运动的独立变量有三个
vP vB B BP (vA A AB) B BP
上两式相减，得
0＝A （AB AP) B BP A PB B BP
(B A ) BP
由于P点选取的任意性，故 与基点选取无关）
B＝A （即角速度
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§3.3 欧勒角
• 正交变换
对于作定点运动的刚体，如何描述其 转轴的取向？一种可行的方法是，以定点 O为原点，建立两个坐标系：一个固定在 地球上，称为空间坐标系或静止坐标系， 另一个固定在刚体上，称为本体坐标系， 也叫随体坐标系或体轴坐标系。后者可以 看作扩展的刚体。本体坐标系相对于空间 坐标系的取向就代表了刚体在空间中的取 向。
nr nr nr nr 13
1）转动前： rr 2）转动nr 后：rr nr rr
3）再rr 转动nr rrnr后nr：rr nr rr
不计二阶微量，则有
rr rr nr rr nrrr
交换转动次序，则有
rr rr nrrr nr rr 已知对线位移，有 rr rr rr rr 可得 nr rr nrrr nrrr nr rr
即 nr nrrr nr nr rr nr nr nr nr
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2.角速度矢量
lim nr dnr r
t 0 t
dt
vr drr lim rr lim nr rr dnr rr r rr
dt t0 t t0 t
dt
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角速度的绝对性（即角速度与基点的选取无关）
证明：设当取A点为基点时，刚体的角速度为 A , 此时刚体上任意一点P的速度为：vP vA A AP 若取B为基点时，设角速度为B，则
刚体一般运动的独立变量有六个
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§3.2 角速度矢量
1.有限转动与无限小转动 有限转动不是矢量，它不满足矢量加法对易律
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无限小转动是矢量， 它满足矢量加法交换律 证明
定义角位移nr，其大小 nr
位移矢量 rr 0时，垂直于rr nr 平面
rr PM g, PM r sin
rr rr gnr gsin rr nr rr 若 nr 是矢量它应当满足矢量加法交换律
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此时，有
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e＝ a e （＝1, 2,3） ＝1
可以省去求和符号，默认对重复指标自动求和，
e＝a e 这种约定称为爱因斯坦约定。
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用任意点的位矢点乘上式两端，得
x a x （＝1，2，3）
上式即是从空间系到本体系的坐标变换，可以
将它表示成矩阵形式：
x1 a11 a12 a13 x1