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5.(2018·全国Ⅲ卷改编)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支 付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，V(X)＝2.4，P(X ＝4)<P(X＝6)，则p＝________.
解析 由题意知，该群体的 10 位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以 V(X) ＝10p(1－p)＝2.4，所以 p＝0.6 或 p＝0.4.由 P(X＝4)<P(X＝6)，得 C410p4(1－p)6<C610p6(1 －p)4，即(1－p)2<p2，所以 p>0.5，所以 p＝0.6.
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2.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝_a_E_(_X_)_＋__b_. (2)V(aX＋b)＝__a_2_V_(X__)__(a，b为常数).
3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝__p_，V(X)＝__p_(_1_－__p_)_. (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝___n_p____，V(X)＝_n_p_(_1_－__p_)_.
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4.已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则随机变量η的均值E(η)及方差V(η)分别 是________. 解析 设随机变量X的均值及方差分别为E(X)，V(X)， 因为X～B(10，0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6， V(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， 故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2， V(η)＝V(8－X)＝V(X)＝2.4. 答案 2和2.4
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3.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有 放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则V(X)＝________. 解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100，则V(X)＝ np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96. 答案 1.96
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2.(教材改编)某射手射击所得环数ξ的概率分布如下：
ξ7
8
9
10
P x 0.1 0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________.
解析 由x7＋x＋0.81×＋00.1.3＋＋9y×＝01.，3＋10y＝8.9，
可得y＝0.4. 答案 0.4
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答案 0.6
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考点一 离散型随机变量的均值、方差 角度1 求离散型随机变量的均值、方差
【例 1－1】 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且 在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数 学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
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解 (1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14， P(X＝1)＝12×1－13×1－14＋1－12×13×1－14＋1－12×1－13×14＝2114， P(X＝2)＝1－12×13×14＋12×1－13×14＋12×13×1－14＝14， P(X＝3)＝12×13×14＝214.
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所以随机变量X的概率分布为
X
0
1 23
P
1 11 1 1 4 24 4 24
随机变量 X 的数学期望 E(X)＝0×14＋1×2114＋2×14＋3×214＝1132.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×2114＋ 2114×14＝4118.
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知识梳理
1.离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
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(1)均值 称E(X)＝_x_1_p_1_＋__x2_p_2_＋__…__＋__x_ip_i＋__…__＋__x_n_p_n_为随机变量X的均值或___数__学__期__望___.它反映 了离散型随机变量取值的_平__均__水__平___. (2)方差 称 V(X)＝_(_x_1_－__E_(_X_)_)2_p_1_＋__(_x_2－__E__(X__))_2_p_2＋___…__＋__(x_n_－__E_(_X_)_)_2p_n_为随机变量 X 的方差，它 刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的___平__均__偏__离__程___度____，其算术平方根 σ＝ V（X）为 随机变量 X 的__标__准__差____.
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诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定.( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标 准差越小，则偏离变量的平均程度越小.( ) (3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大.( ) (4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关.( ) (5)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为4118.
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第5讲 随机变量的均值与方差
考试要求 1.离散型随机变量的均值与方差(B级要求)；2.高考中对本讲的考查将 以实际问题为背景，结合常见的概率问题，考查离散型随机变量的分布列的求法， 期望与方差的求法，多以解答题形式出现，一般中等难度.要加强常见概率模型 的理解与识别.
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