X X 服从两点分布 X～B(n，p)
E(X)
p
np
D(X)
p(1－p)
np(1－p)
1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式． 2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问 题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后 按定义计算出随机变量的均值、方差．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( ) (3随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均 程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )
1 3
2 3
1 2
2 3
P(
2)
P( A1B1 A2 )
Байду номын сангаас
p( A1B1 A2 B2 )
2 3
1 2
1 3
2 2
3
1 2
2
2 9
P(
3)
P( A1B1 A2 B2 )
2 2 1 2
3 2
1 9
综上知， 的分布列为
1
2
3
p
2
3
2
1
9
9
所以E( ) 1 2 2 2 3 1 13
.
【例2】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定 甲球每先 3次次投投时且 篮投先 投篮投 中结中 的束者 概．获率设胜为甲，1每，一次且直投各到篮次有投投人中篮获的互胜概不或率影每为响人1 3．都，投乙
2
①求甲获胜的概率；
②求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．
解：设Ak
,
Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(
p
1
1
1
1
3
4
6
4
若E(X)=2,则a=( ）；D(X)＝（ ）
：a=0; D(X)= 5
2
2．(2018 全国Ⅲ，8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都
为 p，各成员的支付方式相互独立．设 X 为该群体的 10 位成员中使
用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则 p＝( )
【答案】B
题型一：求离散型随机变量的均值、方差
【例1】(2017•全国卷Ⅱ改编)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝( )
A．1.96
B．1.98
C．2
D．2.02
(1)
[依题意，X～B(100,0.02)，所以
D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.]
3.(2017年北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转
变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生 上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取 了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中 仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
Ak
)
1 3
,
P(Bk
)
1 2
, 其中k
1,2,3
(1)记“甲获胜”为事件C, 所以P(C) P( A1) P( A1B1A2 ) P( A1B1A2B2 A3 )
1
2
1
1
2
2
1
2
1
13
3 3 2 3 3 2 3 27
(2)的所有可能取值为1，2，3
P(
1)
P( A1)
P( A1B1)
3 9 99
[规律方法] 求离散型随机变量X的均值 与方差的步骤
（1）理解X的意义，写出X可能取的全 部值. （2）求X取每个值时的概率. （3）写出X的分布列. （4）由均值的定义求E（X）. （5）由方差的定义求D（X）.
课堂训练
瞄准高考·使命必达
1.已知随机变量X的分布列如下：
x
a
2
3
4
离散型随机变量的均值与 方差
最新考纲
理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.会求简单离散型随机变量 的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.
考情考向分析
以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体， 结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法及其均值 与方差，在高考中多以解答题的形式进行考查，难度多为中档.
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn (1)均值：称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平
n
(2)D(X)＝ (xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
【答案】B
【解析】由题意可知，10 位成员中使用移动支付的人数 X 服从二 项分布，即 X～B(10，p)，所以 D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以 p＝0.4 或 0.6.又因为 P(X＝4)＜P(X＝6)，所以 C410p4(1－p)6＜C610p6(1－p)4，所 以 p＞0.5，所以 p＝0.6.故选 B.
4.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日 销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另 一天的日销售量低于50个的概率； （2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)和方差D(X)
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．(教材改编)已知 X 的分布列为
X －1 0 1
P
1 2
1a 3
设 Y＝2X＋3，则 E(Y)的值为( )
7 A.3
B．4
C．－1
D．1
【答案】A
3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则随机变 量η的均值E(η)及方差D(η)分别是( ) A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6
支付金额（ 元） 支付方式
仅使用A
（0，1000] 18人
（1000，2000] 9人
大于2000 3人
仅使用B
10人
14人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A， B两种支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人， 以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的 分布列和数学期望
i＝1
平均偏离程度
量 X 与其均值 E(X)的
，其算术平方根 DX为随机变
量 X 的标准差．方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程
度越小.
2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b (2)D(aX＋b)＝ a2D(X)
； (a，b 为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差