2.5随机变量的均值和方差
扬州市新华中学查宝才
教学目标：
1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
2．能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．
教学重点：
取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．
教学方法：
问题链导学．
教学过程：
一、问题情境
1．情景．
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．怎样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布如下．
2．问题．
如何比较甲、乙两个工人的技术？
二、学生活动
1．直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，
似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．
2．学生联想到“平均数”，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？
3．引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．
三、建构数学
1．定义．
在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式x1p1＋x2p2＋…＋x n p n 计算样本的平均值，其中p i为取值为x i的频率值．
类似地，若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下：
X x1x2…x n
P p1p2…p n 其中，p i≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1，则称x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为随机变量X的均值或X的数学期望，记为E(X)或μ．
2．性质．
（1）E(c)＝c；（2）E(aX＋b)＝aE(X)＋b．（a，b，c为常数）
四、数学应用
1．例题．
例1高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色之外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望．
分析从口袋中摸出5个球相当于抽取n＝5个产品，随机变量X为5个球中的红球的个数，则X服从超几何分布H(5，10，30)．
例2从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望E(X)．
说明例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当X～B(n，p) 时，E(X)＝np．
例3设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场,
那么比赛宣告结束，假定A，B在每场比赛中获胜的概率都是1
2
，试求需要比赛
场数的期望．
分析先由题意求出分布列，然后求期望．
2．练习．
根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：
方案1运走设备，此时需花费3 800元；
方案2建一个保护围墙，需花费2 000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60 000元；
方案3不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60 000元，小洪水来临损失1 000元．
尝试选择适当的标准，对3种方案进行比较．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；
2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法．。