0034 0034
三、解答题：15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15.设函数
y
f (x) 是微分方程
y
xy
e
x2 2
满足条件
y(0)
0 的特解。
（1）求 y f (x) ；
（2）求曲线 y y(x) 的凹凸区间及拐点。
4/9
【答案】A
【解析】在区域
D
上，x2
y2
2 4
，令
x2
y2
，则 0
u
2
，所以有 sin
x2 y2
x2 y2 ；
令 f (u) 1 cos u sin u ，则 f (u) sin u cos u ，
故当 0
u
4
，
f
(u)
0 ；当
4
u
2
，
f
(u)
0；
而 f (0) f (2 ) 0 ，所以 f (u) 0 ，即1 cos u sin u ，得到1 cos x2 y2 sin x2 y2
又因为 A 4 123 ，故 A 的 3 个特征值为1, 2, 2 ，所以二次型 xT Ax 的规范形为 y12 y22 y32 .
二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
2
9. lim(x 2x ) x
.
x0
【答案】 4e2
2
【解析】 lim(x 2x ) x
0
0
n1
k 0
e (k 1) x
sin x
dx
n1
(1)k
k
k 0
(k 1) k
ex
sin
xdx
n1 k 0
e
x2 2
(
e
x2 2
x2
e 2 dx
C)
e
x2 2
(x
C) ，
因为
y(0)
0
，得
C
0
，所以
y
xe
x2 2
；
（2）由（1）有
y
e
x2 2
xe
x2 2
( x)
(1
x2
)e
x2 2
，
y
2
xe
x2 2
(1
x
2
)e
x2 2
( x)
(x3
3
x)e
x2 2
，令
y
0得
x
0,
3，
当 x 3 或 0 x 3 时， y 0 当 3 x 0 或 x 3 时， y 0
g(a) ，
f
(a)
g(a) ，
f
(a)
g(a) ，由此可得在
x
a 处相切。
y
由曲率公式 k
3 可得两曲线在 x a 处曲率相同.
1 y2 2
（必要性）若函数 y f (x) ， y g(x) 在 x a 处相切可得 f (a) g(a) ， f (a) g(a) ；
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(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
【答案】C
【解析】
x
0
时，有
x
tan
x
x3 3
，故 k
3
（2）曲线 y x sin x 2 cos x
(
2
x
3 2
)
的拐点坐标为（
）
(A)
(2
,
2
)
(B) (0, 2)
(C) ( , 2)
(D)
(
3 2
,
3 2
)
【答案】C
【解析】 y sin x x cos x 2sin x x cos x sin x ，
【解析】 s
6 0
1 y2 dx
6 0
1 tan2 xdx
6 sec xdx ln sec x tan x
0
6 0
ln 3 2
13.已知函数 f (x) x x sin t2 dt ，则 1 f (x)dx
1t
0
.
【答案】 cos11 4
【解析】设 F(x)
A
2 3
1 2
1 2
1
1
，
Aij 表示
A
中元素 (i,
j) 的代数余子式，则
A11
A12
.
0
0
3
4
【答案】 4
1 2 【解析】 A11 A12 A 3
1 1 2
0 1 2
01 1 2 1 3
0 1 1
0 1 2
0 1 1
1 1 0
1 2 3
1 1 1 0 40
1 1 3
1 0 4 4
y cos x x sin x cos x x sin x ，
令 y 0 得 x 0 或 x ，
当 x U (0, ) ， y 0 ，故 (0, 2) 不是拐点；
当 x 时， y 0 ；当 x 时， y 0 ，故 ( , 2) 为拐点.
（3）下列反常积分发散的是（
）
(A) xexdx 0
0
arctan 1 x2
x
dx
0
arctan
xd
arctan
x
1 2
(arctan
x)2
0
2 8
.
（4）已知微分方程 y ay by cex 的通解为 y (C1 C2x)ex ex ，则 a, b, c 依次为（
）
(A) 1, 0 ,1
(B) 1, 0, 2
(C) 2,1, 3
(D) 2,1, 4
(D)既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】（充分性）由泰勒公式可得：
f (x)
f (a)
f (a)(x a)
f
(a) 2
(
x
a)2
o(x a)2 ；
g(x)
g(a)
g(a)(x
a)
g(a) 2
(x
a)2
o(x
a)2
则 lim xa
f
(x) g(x) (x a)2
0 ，可得
f
(a)
的秩是（ ）
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【答案】A
【解析】因为 Ax 0 的基础解系中只有 2 个向量，故有 n r( A) 2 ，即 r( A) 4 2 2 ，又因为 n, r(A) n
r( A*) 1, r( A) n 1 ，所以 r( A*) 0 0, r(A) n 1
【答案】D
(B) xex2 dx 0
(C)
arctan x 0 1 x2 dx
(D)
x 0 1 x2 dx
【解析】
0
x 1 x2
dx
1 2
ln(1
x2
)
0
，故选项
D
正确；
选项 A：
xexdx (2) 1；选项 B：
0
0
xex2 dx
1 2
e x2 dx2
0
1 2
；
选项 C：
)
，
z y
f ( y2 ) yf ( y2 ) 2 y
x
xx
f ( y2 ) 2y2 xx
f ( y2 ) x
则 2x z y z x y
2x
y3 x2
f
(
y2 x
)
y
f
(
y2 x
)
2y2 x
f
(
y2 x
)
yf ( y2 ) x
12.设函数
y
ln
cos
x
(0
x
6
)
的弧长为
.
【答案】 ln 3 2
1
故切线方程为
y
1
1( x
3 2
1)
，即
y
x
3 2
2
，令
x
0
，
y
3 2
2
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梦想不会辜负每一个努力的人
11.设函数
f
(u)
可导，
z
yf
(
y2 x
)
，则
2x
z x
y
z y
.
【答案】 yf ( y2 ) x
【解析】 z x
yf
(
y2 x
)(
y2 x2
)
y3 x2
f
(
y2 x
lim ( x 2x 1) 2
ex0
x
e22 ln 2
4e2
x0
10.曲线
x
y
t sin t 1 cos t
在t
3 2
对应点处切线在
y
轴的截距为
.
【答案】
3 2
2
【解析】当 t
3 2
时，
x
3 2
+1,
y 1 ， y
dy dx
dy / dt dx / dt
1
sin t cos
t
t
3 2
x sin t 2 dt ，故有 1t
1 0
f
(x)dx
1 xF(x)dx
0
1 2
1 F(x)dx2
0
1 2
x2 F ( x)
1 0
1 2
1 x2F (x)dx