式(3a) 两边同除a2XT，得
T '' X '' l . 2 aT X
(4)
第一个等号左边是时间t的函数，右边只与坐标x有关，左右相 等的条件是二者相等且等于一个常数，记为-l. 由式(4) 得到两个独立的二阶常微分方程：
X '' l X 0, 2 T '' l a T 0.
u x, t X x T t .
(2) (3a) (3b)
3
将Eq.(2)代入Eq.(1)的泛定方程和边界条件，分别得到
XT '' a2 X ''T ,
X 0 T t 0, X l T t 0.
2016/5/18 第四章 分离变量法1
2 n l ln , l (17) (n 0,1, 2 ). X ( x) C cos n x . n 1 l 将本征值ln代入式(16b) ，得T满足的方程. 当l=0 (即n=0)时， 方程Tn’’=0的通解为： A B0t (18a) T0 0 . 2
2016/5/18
第四章 分离变量法1
16
3、一端固定、另一端自由
单簧管的定解问题为
utt a 2u xx 0, u x 0 u x x l 0, u t 0 x , ut t 0 x .
(21)
解：利用分离变数法，令u=T(t)X(x)，代入泛定方程得
第四章 分离变量(傅立叶级数)法
§4.1 齐次方程的分离变量法 §4.2 非齐次方程和输运方程
§4.3 非齐次边界条件的处理
§4.4 泊松方程
（计划授课6学时）
2016/5/18 第四章 分离变量法1 1
§4.1 齐次方程的分离变量法
无限长(或半无限长)弦的解叫做行波解，由达朗贝尔公式给 出。本章研究有限长弦的振动问题，用分离变量法(工具)， 得到驻波解，它的叠加构成无穷级数形式的一般解。
n a 其中 N n = An Bn ，本征振动模式n的圆频率n = ，频率 l n na 为 f n = ，初始位相为 n =arctg( Bn An )，波数kn=n/l. 2 2l
2 2
由频率得周期T(n)=1/fn=2/n，于是波长为T(n)a=2l/n.
2016/5/18 第四章 分离变量法1 9
波腹 波节
波节
基波
波腹 波节 波腹
波节
波节
1次谐波
波腹
波节 波节
波腹
波腹
波节 波节
2次谐波
驻波n（第n个本征振动模式）有n个波腹，n+1个波节.
2016/5/18 第四章 分离变量法1 10
所有本征函数的线性叠加也是满足泛定方程和边界条件的解
n at n at n x u x, t un An cos Bn sin , sin l l l n 1 n 1
2016/5/18 第四章 分离变量法1 7
下面由Eq.(5c)求解T(t). 对于每一个ln(或n)，齐次方程 T’’+lna2T=0的通解T=ert, 其中待定系数r2=lna2>0, 因此得到
T t A cos

ln a 2 t B sin


ln a 2 t

n a n a A cos t B sin t, l l
ll
0.
c1 c2 0.
此时X=0，即u=XT=0，这是一个平凡解，因此舍弃! (3) l>0的情况 因为r＝(-l)1/2= il1/2，由(6)式得通解为
X x C1 cos

l x C2 sin


lx ,

(7)
代入X(0)=X(l)=0中，得 C1 C2 0 0, C cos l l C2 sin 1
(5a) (5b) (5c)
另一方面，由式(3b) 得X(x)的边界条件
X 0 0, X l 0.
式(5a)和(5b)又称为二阶常系数微分方程，下面根据常数l的 符号，求出相应通解.
2016/5/18 第四章 分离变量法1 4
(1) l=0的情况
方程(5a)为X’’=0，其通解为X(x)=c1x+c2，代入X(0)=X(l)=0中得
1、端点固定情况
考虑有限长两端固定均匀弦的自由振动，则定解问题为
utt a 2u xx , 0 x l , t 0 , u x 0 u x l 0, u t 0 x , ut t 0 x .
(1)
应用分离变量法，令试探解为

(12)
其中An和Bn由初始条件(1b)确定，得
n x A sin x, n l n 1 0 x l B n a sin n x x . n l l n 1
(13)
上式刚好是傅里叶正弦级数，系数为(P90)

ll 0.
第四章 分离变量法1
C1 C2 sin
ll 0.
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为了得到非平凡解，要求C20，因此必有 sin ll 0，则
l l n , n 1, 2,3, ,
即
n2 2 l ln 2 , n 1, 2,3, . l
X '(0) C2 l 0, 即 C2 0,
n l , (n 1, 2, ). l 将本征值ln代入式(16a) ，得相应的本征函数 (C0，D=0)，
n x X ( x) C1 cos . l 将l=0与l>0的情况合在一起，得本征值ln和本征函数
(10)
其中A, B是积分常数，由定解问题的初始条件确定. 将Eqs. (9)和(10)代入Eq.(2)，得两端固定有限长弦上的驻波 解 (又称傅里叶级数解)
n at n at n x un x, t An cos Bn sin sin , n 1, 2, , (11) l l l
X x c1e
l x

其中系数c1和c2由边界条件X(0)=X(l)=0确定。
2016/5/18 第四章 分离变量法1 5
(2) l<0的情况
通解(6)式代入X(0)=X(l)=0中，得
c1 c2 0, ll c e c e 1 2
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2
当l>0 (即n>0)时，二阶常微分方程Tn’’+la2T=0的通解为ert (r 待定)，代回方程中得到r2=-(na/l)2，或r=±i(na/l)。于是Tn 的通解为 n a n a Tn (t ) A cos t B sin t . (18b) l l 由(17), (18a)和(18b) 得傅氏解
每一个正整数n对应一种驻波。不同的n给出两端固定弦的不 同的本征振动模式：n=1称为基波，n>1称为n次谐波.
2016/5/18 第四章 分离变量法1 8
驻波解(11)式又可写为(参看P95)
n at n at n x un x, t An cos Bn sin sin l l l An n at Bn n at n x Nn cos sin sin l Nn l l Nn n at n at N n cos n cos sin n sin sin kn x l l (11’) Nn cos(nt n )sin kn x,
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(19)
15
上式就是傅里叶余弦级数，系数为
2 l A0 d , l 0 B 2 l d . 0 l 0 2 l n A cos d , n l 0 l (20) B 2 l l cos n d . n l 0 n a l
相应地
n X x C2 sin l x,
(8)
(9)
其中C2为积分常数。注意n0，否则X(x)=0为平凡解。 常微分方程X’’+lX=0及边界条件X(0)=X(l)=0构成本征值问题， (8)式给出的特定的l值称为本征值，与之对应的非平凡解(9)式 称为本征函数。
0、分离变量法介绍
分离变量法的实质就是将物理量u(x,y,z,t)按自变量写成若干个 单自变量函数相乘的形式，
u x, y, z, t X x Y ( y)Z ( z)T t ,
从而将偏微分方程(PDEs)的求解归结为若干个常微分方程 (ODEs)的定解问题.
2016/5/18 第四章 分离变量法1 2
(iii) 当l>0时，方程(16a)式的通解为
X C1 cos

l x C2 sin


lx ,

代入到边界条件中，得
ll 0. 非零解要求C 0，l 0，则有 sin l l 0，即本征值为
X '(l ) C1 l sin
1
2016/5/18 第四章 分离变量法1 13
c1 0 c2 0, c1l c2 0.
c1 c2 0.
即X=0，u=XT=0为平凡解(trivial [’triviәl]平庸的)，因此舍弃! 当l0(即l>0或l<0)时，齐次ODE方程X’’+lX=0有e指数形式的通 解X=erx，代回原方程中，得 r 2 l 0. 上式有两个根r＝(-l)1/2，因此方程(5a)的通解为