例6(’04全国)设双曲线C:
x2 a2

y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1
相交于点A、B。(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且
uuur PA=
5
PuuBur，求a的值。
12
例7(绿书P186例3) 已知双曲线3x2-y2=3，且双曲线上 存在关于直线l : y=kx+4对称点，如图所示，求实数k 的取值范围，并求中点M的轨迹。
3x2 y2 1
因为直线与双曲线交于A、B两点
故
3 k 2 0
解得 6 k 6且k 3
4k 2 8(3 k 2 ) 0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
x1

x2

2k 3 k2
x1 x2

2 3 k2
而以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0
一. 直线与双曲线位置关系(从“形”角度研究)
㈠ 相交
⑴有两个公共点
①在同一支 ②分别在两支 ⑵有一个公共点 直线与渐进线平行
㈡相切
只有一个公共点
㈢相离
注意：直线与双曲线只有一个公共 点，情况有两种，与椭圆不同。
没有公共点
二. 直线与双曲线位置关系(从“数”角度研究)
例1 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求
25kk
5 2
5 2
或或11或k或1k0k11k0

1
故k的取值范围为 1 k 5 2
实际上，△>0可省 略，为什么？
引申：（3）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有一个公
共点，求k的值。
注意： 极易疏忽!
解：由
y

kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
例4(绿书P185例1) 过双曲线3x2-y2=3的左焦点，作 倾斜角为30°的弦AB，求 (1)|AB| ; (2)△F2AB的周长 （F2为双曲线的右焦点）
例5 已知双曲线的方程为2x2-y2=2，试问：是否存在被点 B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如 果不存在，说明理由。
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 (1)
x2 y2 4
此时等价于（1）式方程有两个不等的正根，则
分分析析：1：115k2141k2kk5k22245kk2k04k22k2022000(021200(1k(12 )kk2 )20)即00即kk 2kk115
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
例2
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
例3 直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点，当 k为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。
解：由
y

kx
1
得 (3 k 2 )x2 2kx 2 0
2
2
引申：（1）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共
点，求k的取值范围。
k的取值范围为 5 k 5 且k 1
2
2
问: k≠±1有何 几何意义？
（2）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右左两支支支有都两有 个公共 点，求k的取值范围。
解：由
y

kx
A M (0,4) B
直线与双曲线 的位置关系
相交 相切
有两个公共点(△>0) 有一个公共点（与渐进线平行）
只有一个公共点(△=0)
相离
没有公共点(△<0)
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
解得k 5 2
故k的值为1或 5 2
直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：
①直线平行渐近线
②直线与双曲线相切
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
k的取值范围。
解：由
y

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 (1) 即此方程无解。
x2 y2 4
故
1 k 2 0
得 k
4k 2 20(1 k 2 ) 0
5 或k 5
2
2
则k的取值范围为（-， 5）（ 5， ）
又 y y (kx 1)(kx 1) k2x x k(x x ) 1
12
1
2
12
1
2
故 (1 k2 )x x k(x x ) 1 0
12
1
2
解得 k 1满足条件
即 (1 k2 ) 2k 3 k2
k 2 3 k2
1 0
故当k 1时，以AB为直径的圆过原点