【巩固练习】
一、选择题
1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是( )
A ．3y x =±
B ．1
3y x =± C ．y = D ．y x = 2．椭圆22214x y m +=与双曲线22
212
x y m -=有相同的焦点，则m 的值是( ) A ．±1 B ．1 C ．－1 D ．不存在
3．已知双曲线方程为22
1205
x y -=，那么它的半焦距是( )
A ．5
B ．2.5 C. D. 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )
A ．－14
B ．－4
C ．4 D. 14
5. 已知双曲线的两个焦点为F 1(0)、F 20)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A. 22123x y -= B. 22132x y -= C. 2
214x y -= D ．2
2
14y x -= 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )
A ．16
B ．18
C ．21
D ．26
二、填空题 7．已知双曲线22
1124
x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
8．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y
2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．
9．已知双曲线22
221x y a b
-= (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________．
10．设一个圆的圆心在双曲线22
1916
y x -=的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________．
三、解答题
11.已知双曲线的中心在原点，焦点为F 1
，F 2（0，），且离心率2e =，求双曲线
的标准方程及其渐近线． 12．设双曲线C ：1:)0(1222
=+>=-y x l a y a
x 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围：
13．设双曲线22
22b
y a x -=1（0<a<b ）的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0,b)两点.已知原点到直线l 的距离为4
3c ，求双曲线的离心率. 14.两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：
221211e e +=1. 15. 如图所示，已知F 1，F 2为双曲线22
221x y a b
-= (a >0，b >0)的两个焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°，求双曲线的渐近线方程．
【答案与解析】1.【答案】：C
【解析】：将双曲线化为
2
21
3
y
x-=，以0代替1，得
2
20
3
y
x-=，即22
3
y x
=；
即y=，故选C
2.【答案】： A
【解析】：验证法：当m＝±1时，m2＝1，
对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.
对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，
故当m＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2. ∴m2＝1，即m＝±1.
3．【答案】： A
【解析】：∵a2＝20，b2＝5，∴c2＝25，∴c＝5.
4. 【答案】： A
【解析】：双曲线mx2＋y2＝1的方程可化为：
y2－
2
1
x
m
-
＝1，
∴a2＝1，b2＝－1
m
，由2b＝4a，
∴4，∴m＝－1 4 .
5. 【答案】： C
【解析】：∵c|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，
∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.
6.【答案】： D
【解析】：|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，
∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，
∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，
∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.
7．【答案】：⎡⎢⎣⎦
【解析】：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝x ，当过点F 的直线与渐近线平行时，
满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是⎡⎢⎣
⎦. 8．【答案】：3
【解析】：已知双曲线方程为22
194
y x -=，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
9. 【答案】：
53
【解析】：由|PF 1|－|PF 2|＝2a 及|PF 1|＝4|PF 2|得： |PF 2|＝23
a ，又|PF 2≥c －a ， 所以23a ≥c －a ，c ≤53
a ， ∴e ＝
c a ≤53，即e 的最大值为53. 10．【答案】：163
【解析】：由已知得双曲线的上顶点为A (0,3)，上焦点为F (0,5)，设圆心为P (x 0，y 0)，则y 0＝
352+＝
4.代入双曲线方程得2016194x -=，所以207169
x ⨯=，故|PO |163=.
11. 解析： 由条件知焦点在y
轴上，c =
c a
=
2,2a b ==；所以双曲线的方程为22
1,44
y x -=渐近线方程为y x =± 12.解析：由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-.1,1222
y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0.
242210.0 1.48(1)0.a a a a a a ⎧-≠⎪<≠⎨+->⎪⎩所以解得
双曲线的离心率
01,(2,).e a a e e e =<<≠∴
≠+∞即离心率的取值范围为
13．【解析】
：由已知，l 的方程为ay+bx-ab=0,
原点到l
4c =, 又c 2=a 2+b 2, ∴24ab =，两边平方，得16a 2(c 2-a 2)=3c 4.
两边同除以a 4并整理得3e 4-16e 2+16=0，∴e 2=4或243
e =. ∵ 0<a<b, 1b a
>,221b a >,得22222212a b b e a a +==+>, ∴e 2
=4，故e=2. 14．解析：证明：双曲线22
221x y a b
-=的离心率22221122c c a b e e a a a +=⇒==；
双曲线
22
22
1
x y
b a
-=的离心率
222
2
2222
c c a b
e e
b b b
+
=⇒==.
∴
22
222222
12
11
1
a b
e e a b a b
+=+=
++
.
15.【解析】：∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|.
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a.
∴|F1F2|
＝PF2|，即2c＝
，∴c2＝3a2.
又∵c2＝a2＋b2，∴2a2＝b2.∴b
a
.
故所求双曲线的渐近线方程为y＝
x.。