直线与双曲线的位置关系编稿:张希勇审稿:李霞【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程;2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)解决相关问题;3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂:双曲线的性质371712一、复习】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内,到两个定点1F、2F的距离之差的绝对值等于常数2a(a大于0且122a F F<)的动点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F、2F叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程:焦点在x轴上的双曲线的标准方程说明:焦点是F1(-c,0)、F2(c,0),其中c2=a2-b2焦点在y轴上的双曲线的标准方程22221(0,0)x ya ba b-=>>22221(0,0)y xa ba b-=>>说明:焦点是F 1(0,-c)、F 2(0,c),其中c 2=a 2-b 2要点诠释:求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,焦点在哪条坐标轴上;“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式;“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b-=(0,0)a b >> 图形性质焦点 1(,0)F c -,2(,0)F c 1(0,)F c -,2(0,)F c焦距 2212||2()F F c c a b ==+ 2212||2()F F c c a b ==+范围 {}x x a x a ≤-≥或,y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或,x R ∈对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±(0,)a ±轴 实轴长=a 2,虚轴长=2b离心率 (1)ce e a=> 渐近线方程x ab y ±= a y x b =±要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组,消元转化为关于x或y 的一元二次方程,其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a =±,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点; 若2220,b a k -≠即bk a≠±,①Δ>0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交,有两个交点; ②Δ=0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切,有一个公共点; ③Δ<0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离,无公共点. 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点,则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理,需作以下变形:12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-;涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化,同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点,韦达定理求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题,我们要抽象出相应的数学问题,即建立数学模型,一般要先建立直角坐标系,然后利用双曲线定义,构建参数a,b,c 之间的关系,得到双曲线方程,利用方程求解双曲线中的最值问题,按照转化途径主要有以下三种: (1) 利用定义转化(2) 利用双曲线的几何性质 (3) 转化为函数求最值 【典型例题】类型一:双曲线的方程与性质 例1.求下列双曲线的标准方程.(1)与椭圆2211625x y +=共焦点,且过点(-2的双曲线;(2)与双曲线221164x y -=有公共焦点,且过点,2)的双曲线. 【解析】(1)∵椭圆2211625x y +=的焦点为(0,±3), ∴所求双曲线方程设为:222219y x a a-=-,又点(-2在双曲线上, ∴2210419a a-=-,解得a 2=5或a 2=18(舍去). ∴所求双曲线方程为22154y y -=.(2)∵双曲线221164x y -=的焦点为(±0), ∴设所求双曲线方程为:2222120x y a a -=-,又点,2)在双曲线上, ∴22184120a a-=-,解得a 2=12或30(舍去), ∴所求双曲线方程为221128x y -=. 【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲线方程的基本步骤。
举一反三:【变式1】设双曲线焦点在x 轴上,两条渐近线为y =±12x ,则该双曲线的离心率为( )A .5 B.C.2D.54【答案】C【变式2】(2015 安徽卷)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是( )(A)2214y x -= (B)2214x y -= (C)2214y x -= (D)2214x y -= 【答案】 C 【解析】由题意:选项中A ,B 焦点在x 轴,排除C 项的渐近线方程为2204y x -=,即y =±2x , 故选C.类型二:直线与双曲线的位置关系例2.已知双曲线x 2-y 2=4,直线l :y =k (x -1),讨论直线与双曲线公共点个数. 【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点,即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解.【解析】联立方程组⎩⎨⎧=--=4)1(22y x x k y 消去y ,并依x 项整理得: (1-k 2)·x 2+2k 2x -k 2-4=0 ① (1)当1-k 2=0即k =±1时,方程①可化为2x =5,x =25,方程组只有一组解,故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况,相交但不相切).(2)当1-k 2≠0时,即k ≠±1,此时有Δ=4·(4-3k 2)若4-3k 2>0(k 2≠1),则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332,方程组有两解,故直线与双曲线有两交点. (3)若4-3k 2=0(k 2≠1),则k =±332,方程组有解,故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况). (4)若4-3k 2<0且k 2≠1则k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332432,,方程组无解,故直线与双曲线无交点. 综上所述,当k =±1或k =±332时,直线与双曲线有一个公共点; 当k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃-⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--332,1)1,1(1,332时,直线与双曲线有两个公共点; 当k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,332332,时,直线与双曲线无公共点. 【总结升华】本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数,具体操作时,运用了重要的数学方法——分类讨论,而且是“双向讨论”,既要讨论首项系数1——k 2是否为0,又要讨论Δ的三种情况,为理清讨论的思路,可画“树枝图”如图:举一反三:【变式1】(2014天津)已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A .120522=-y x B .152022=-y x C .1100325322=-y x D .1253100322=-y x【答案】A【解析】令y =0,可得x =-5,即焦点坐标为(-5,0),∴c =5,∵双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10,∴ab=2, ∵c 2=a 2+b 2, ∴a 2=5,b 2=20,∴双曲线的方程为120522=-y x . 故选:A .【答案】B【变式2】直线y =x +3与曲线-x 1x ·|x |+91y 2=1的交点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D例3.过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它们的方程。
【思路点拨】显然采用过P 点的直线方程与双曲线方程221725x y -=联立的方法,但要注意直线斜率不存在的情况要先判断。
【解析】若直线的斜率不存在时,则x =0),满足条件;若直线的斜率存在时,设直线的方程为5(y k x -=则5y kx =+-217x =, ∴22257(5725x kx -+-=⨯,222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=,当k =时,方程无解,不满足条件;当7k =-时,21075⨯⨯=方程有一解,满足条件;当2257k ≠时,令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=,化简得:k 无解,所以不满足条件;所以满足条件的直线有两条x =107y x =-+。
【总结升华】直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交,注意直线的特殊位置和所过的特殊点. 举一反三:【高清课堂:双曲线的性质371712 例2】【变式】双曲线22221-=x y a b的右焦点到直线x-y-1=0的距离为2,且223=a c .(1)求此双曲线的方程;(2)设直线y=kx+m(m≠0)与双曲线交于不同两点C 、D ,若点A 坐标为(0,-b),且|AC|=|AD|,求实数k 取值范围。
【答案】(1)2213x y -=(2)(,()-∞⋃⋃+∞类型三:双曲线的弦例4.(1)求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长; (2)求过定点(0,1)的直线被双曲线2214y x -=截得的弦中点轨迹方程. 【思路点拨】(1)题为直线与双曲线的弦长问题,可以考虑弦长公式,结合韦达定理进行求解。