直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2．弦长公式：设直线 ykx b 交双曲线于 P 1 x 1 , y 1 ， P 2 x 2 , y 2 ，则 P 1P 2 x 1x 2 1 k 21 k 2x 1 x 224x 1 x 2 ，或P 1P 2y 1y 2 1 11 1y 1y 224y 1 y 2 k0 ．k 2k 2二、基础自测1．经过点 P1,2 且与双曲线 4x 2 y 2 1仅有一个公共点的直线有（）2(A)4 条 (B) 3条(C) 2 条(D) 1条2．直线 y= kx 与双曲线 4x 2 y 216 不可能（）（ A ）相交（ B ）只有一个交点（ C ）相离（ D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线y 2x2的通径长是1619(A) 9 (B)9 (C)9(D)10424 ． 若 一 直 线 l 平 行 于双 曲 线 的 一 条 渐 近线 ， 则 l 与 双 曲线 的公 共 点 个 数为 ．解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5．经过双曲线 x 2 y 2 8 的右焦点且斜率为2 的直线被双曲线截得的线段的长是．6．直线l在双曲线x2y21上截得的弦长为4，且l的斜率为 2，求直线l的方程．32三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1.如果直线y kx 1 与双曲线 x 2y 2 4 没有公共点，求k的取值范围．有两个公共点呢？解，所以△ =(b)240 ，所以b2 ，e c a2b2 1 (b)2 5 ，故选D.a a a a a2．(2010 ·安徽 )若直线 y＝kx＋2与双曲线 x2－ y2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是()A.15 ,15B. 0,15C.15 ,0D.15 ,133333y＝kx＋ 2，1k 202216k2 4 1k210 0解：由得 (1－ k )x －－＝，∴，解x2－y2＝ 64kx 10 0x1x20x1x20 15得－3 <k<－ 1.3、过点P( 7,5)与双曲线x2y21有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出725它们的方程。
题型二：直线与双曲线的相交弦问题4.过双曲线 x2y 21的左焦点F1，作倾斜角为的弦 AB ，求⑴AB；⑵ F2 AB 的36周长（ F2为双曲线的右焦点）。
5.已知双曲线方程为 3x2 y2 3 ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出 k 值对判别式△ >0 进行验证即可．6. 双曲线方程为 3x 2 y 2 3 .问：以定点 B(1,1) 为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点A 1, A 2 在x 轴上，离心率为21的双曲线经过点P(6,6)3（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线 l 经过 A 1PA 2 的重心 G ，与双曲线交于不同的两点 M , N ，问是否存在直线 l 使 G 平分线段 MN 。
试证明你的结论。
题型三： 求双曲线方程8. 已知焦点在 x 轴上的双曲线上一点 P ，到双曲线两个焦点的距离分别为 4和 8，直线 yx 2 被双曲线截得的弦长为 20 2 ，求此双曲线的标准方程．9、设双曲线 C :x 2y 21 a 0 与直线l : x y1相交于不同的点 A 、B.a 2⑴求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；⑵设直线 l 与 y 轴的交点为 P ，且 PA5PB ，求 a 的值。
2 12解： (1)将 y ＝－ x ＋ 1代入双曲线x2－ y 2＝ 1 中得 (1－ a 2)x 2＋ 2a 2x － 2a 2 ＝ 0①a由题设条件知，1－ a 2≠0，解得 0<a<2且 a ≠1， 又双曲线的离心率 1＋ a 242－ 2e ＝ a ＝4a ＋8aa ?>0?1 12＋ 1，a6∵ 0<a< 2且 a ≠1，∴ e> 2 且 e ≠ 2.(2)设A(x1， 1)，B(x2，2，P(0,1)．→＝5→，∴(x 1，1－1)＝5 2 ，y y )∵ PA12PBy12(xy2－ 1)．∴ x1＝5x2，12∵ x1、x2是方程①的两根，且2∴17x2＝－2a 22，522a22，1－ a ≠0，12－x2＝－－121a1 a消去 x2得，－2a2289∵ a>0，∴ a＝17 2＝60，. 1－a1310. 已知双曲线的焦点为F1c,0 ， F2 c,0，过 F2且斜率为3的直线交双曲线于5P、Q两点，若 OP OQ(其中 O 为原点）， PQ 4，求双曲线方程。
11.双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F 垂直于 l1的直线分别交l1， l 2于A，B两点．已知O A 、AB 、OB 成等差数列，且BF 与 FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：（Ⅰ）设 OA m d ， AB m ， OB m d由勾股定理可得：(m d )2m2(m d ) 2得： d 1m ， tan AOFb， tan AOB tan 2 AOF AB4 42b a OA34，解得b1, 则离心率e 5 ．由倍角公式a2b3a221a（Ⅱ）过 F 直线方程为y a( x c) ,与双曲线方程x2y2 1 联立，将 a2b ，b a2b2c5b 代入，化简有152 x28 5x 21 0a2a241x1 x21( x1 x2 )24x1x2 4b b b b2 2将数值代入，有 4532 5b4 28b , 解得 b 3故所求的双曲线方程为155x 2 y 21。
36 9x 2 y 212、已知双曲线 a 2－ b 2＝1(b>a>0)，O 为坐标原点，离心率e ＝ 2，点 M ( 5， 3)在双曲线上．1(1) 求双曲线的方程； (2) 若直线 l 与双曲线交于P ，Q 两点，且 OP OQ0 .求 |OP|21＋ |OQ|2 的值．解：∵＝，∴＝ 2＝22＝ 2，双曲线方程为 x 2y 22－ 2(1) ，c－a 3a－＝ 1，即 3xy＝e 2c2a b22a 3a3a 2.∵点 M( 5， 3)在双曲线上，∴ 15－ 3＝3a 2.∴a 2 ＝4.x 2 y 2∴所求双曲线的方程为 4 －12＝1.x2y2(2)设直线 OP 的方程为 y ＝ kx(k ≠0)，联立 4 －12＝1，得x 2122212 k＋ 113 k2 ∴|OP|2＝x 2＋ y 2 ＝ 2.则 OQ 的方程为 y ＝－ x ，y212kk3－ k 3 k 212 11 2＋ 1112 2－ 1k 2212 k3－ k ＋ 3k同理有 |OQ| ＝31 ＝3k 2－1 ，∴|OP|2＋|OQ|2＝12 k 2＋ 1＝k22＋ 2k212＝ 6.12 k ＋ 113．(2012 上海 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 1： 2x 2－ y 2 ＝1.(1)过 C 1 的左顶点引 C 1 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为 1 的直线 l 交 C 1 于 P 、Q 两点．若 l 与圆 x 2＋ y 2＝1 相切，求证：OP ⊥ OQ ；(3)设椭圆 C 2 ：4x 2＋ y 2＝ 1.若 M 、 N 分别是 C 1 、C 2 上的动点，且 OM ⊥ ON ，求证：O 到直线 MN 的距离是定值．解： (1)双曲线 C 1：x 2y21 ，左顶点 A2,0 ，渐近线方程为： y ＝± 2x.1 22过点 A 与渐近线 y ＝2x 平行的直线方程为2y2 x2，即 y ＝ 2x ＋1.y 2x y2124 解方程组，得y2x 11 . ∴所求三角形的面积为 S ＝ 2|OA||y|＝ 8 .y2(2) 证明：设直线 PQ 的方程是 ＝ ＋ ，∵直线PQ与已知圆相切，∴ |b|＝ 1，y x b 2即 b 2＝ 2.由yx b得 x 2－ 2bx －b 2－ 1＝0.设 P(x 1 ， 1 、 2 ， 2 )，则x 1x22b 2x 2y 21y ) Q(x y x 1x 21 b 2又 y 1y 2＝(x 1＋b)(x 2＋ b)，∴ OP OQ ＝ x 1 x 2 ＋ y 1y 2 ＝ 2x 1 x 2 ＋ b(x 1 ＋ x 2)＋ b 2＝ 2(－ 1－ b 2)＋ 2b 2 ＋ b 2＝ b 2 － 2＝1.故 OP ⊥ OQ.2(3)证明：当直线 ON 垂直于 x 轴时， |ON|＝ 1，|OM|＝ 2 ，则 O 到直线 MN 的3距离为 3.当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设直线 ON 的方程为 y ＝ kx(显然 k2)，21y kxx 2 14 k2则直线 OM 的方程为 y ＝－ k x.由 4x 2 y 2 1 得y 2k 2k 24∴ |ON|2＝1＋ k21＋ k2.设 O 到直线 MN 的距离为 d.2.同理 |OM|2＝24＋ k2k － 11＝112＝3k2＋ 33∵ (|OM|2＋ |ON|2)d2＝ |OM|2|ON|2，∴2 2 ＋|ON|2＋1＝ 3，即 d＝3.d|OM|k综上， O 到直线 MN 的距离是定值．五、能力提升1．若不论 k 为何值，直线 y=k(x-2)+b与双曲线 x 2y 2 1 总有公共点，则 b 的取值范围是（）(A)3,3(B)[3,3](C)2,2(D)2,22．过双曲线x 2y 21交双曲线于A、B两点，若 |AB|=4 ，则2的右焦点 F 作直线l这样的直线 l 有（）(A)1 条(B)2条(C)3条(D)4条3．过点P1,b的直线 l 与双曲线x2y2 1 a0, b0有且仅有一个公共点，且a a2b2这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（）(A)2(B)4(C) 1或 2(D)2或 44. 已知双曲线x2y21a0, b 0 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45 的直a 2b2线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）(A) (1，2](B)（ 1， 2)(C) [2，+∞ )(D) (2，+∞)6．直线l : y kx 2 与双曲线 C : x2y2 6 的右支交于不同两点，则k 的取值范围是．7.已知倾斜角为的直线l被双曲线x2 4 y260 截得的弦长AB 8 2 ，求直线 l4的方程．8. 设直线 l : y 3x1与双曲线于x 2y 2 1 a 0, b 0 相交于 A 、B 两点，且弦 ABa 2b 2中点的横坐标为1．22(1) 求a2 的值； (2) 求双曲线离心率． b9. 已知双曲线 x2y 2 1 a 0, b 0 的离心率 e 12 ，左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ，a 2b 2左准线为 l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得 PF 1 是 P 到 l 的距离 d 与 PF 2的等比中项？。