工程力学(天津大学)第4章答案4-1 如图所示，铅垂轴上固结一水平圆盘，圆盘半径为R ，OB =h 。

在圆盘的边缘上C 、D 两点分别作用力F 1和F 2，F 2平行于yBz 面，ED 平行于y 轴，α、β均为已知。

试分别写出力F 1及F 2对各坐标轴之矩。

解：)cos cos sin (cos sin cos )(2222βαβαββ-=⨯+⨯-=R F R F h F M x Fαβαβsin sin sin sin )(222R F R F M y =⨯=F αβαβsin cos sin cos )(222R F R F M z =⨯=F4-2 匀质矩形平板重G =20kN ，用过其重心铅垂线上D 点的三根绳索悬在水平位置。

设DO =60cm ，AB =60cm ，BE =80cm ，C 点为EF 的中心。

求各绳所受的拉力。

E xyFF AB h OC αβ习题zD 0)(0)()(1111==-=F F F z y x M M hF M解：取矩形平板为研究对象，其上受一汇交于D 点的空间汇交力系作用，连接DH 、DI 、DJ ，如图b 所示。

列平衡方程习题((由（1）（2）（3）式联立解得4-3图示空间构架由三根无重直杆组成，在D 端用球铰链连接，A 、B 和C 端则用球铰链固定在水平地面上。

如果挂在D 端的物重P =10kN ，试求铰链A 、B 和C 的约束力。

kN02.12kN 51.6===C B A F F F ()()()302052106061106061106000205210406110406110400,01,,0,0=-++=-++==-+=-+==∴===-=∑∑∑C B A C B A zC B A C B AxBA B A yF F FG DC DO F DB DO F DA DO F FF F F DO COF BD BJ F AD AI F FF F BD AD BH AH BD BHF AD AH F F解：取空间构架及物体为研究对象，受力如图（b ）所示。

建立坐标系如图，列平衡方程0cos 45cos 450(1)0sin 45cos30sin 45cos30cos150(2)0sin 45sin 30sin 45sin 30sin150(3)x A B yA B C zA B C FF F F F F F FF F FG =-︒+︒==-︒⨯︒-︒⨯︒-︒==-︒⨯︒-︒⨯︒-︒-=∑∑∑由（1）、（2）、（3）式联立解得4-4 挂物架如图所示，不计重量的三杆用球铰链连接于O ，平面BOC 是水平面，且OB =OC ，角度如图。

若在 O 点挂一重物G ，重为1000N ，求三杆所受的力。

习题OGCBA45°45°45°yOGCBA45°45°45°FF FF xz((26.39kN 33.46kNA B C F F F ==-=解：取挂物架及物体为研究对象，受力如图（b ）所示。

建立坐标系如图，列平衡方程4-5 一力F 沿正立方体的对角线BK 作用，方向如图示。

设F =200N ，正立方体边长为2m ，求力F 对O 点之矩矢的大小及方向。

0cos 4502210001414N 0sin 45cos 450707Nsin 45cos 450707NzA A xB A B yC A C FF F F F F F F F F F F F =-︒-==-==-=--︒⨯︒===+︒⨯︒==∑∑∑解：力F 在三个坐标轴上的投影为，力F 对三个坐标轴的矩为()2()2()033()20()333200m33()0()2333200230.95N mx z y y x z z y x M yF zF F F M zF xF F FM xF yF F F F=-=⨯-⨯==-=-⨯===⋅=-=⨯-===-⋅F F F 22cos 4523322sin 45233233x y z F FF F FF F F=︒==-︒==-=4-6 轴AB 与铅直线成α角，悬臂CD 垂直地固定在轴上，其长为a ，并与铅直面zAB 成θ角，如图所示。

如在点D 作用铅直向下的力P ，22222()()()()230.95(230.95)326.60N mo x y z M M M M =++=+-=⋅F F F F cos(,)0,230.95cos(,)0.707,326.60230.95cos(,)0.707326.60xo o y o oz o o M M M M M M =====-===-M i M j M k求此力对轴AB 的矩。

解：力P 对轴AB 的矩为4-7 图示三圆盘A 、B 和C 的半径分别为150mm 、100mm 和50mm 。

三轴OA 、OB 和OC 在同一平面内，AOB ∠为直角，在这三圆盘上分别作用力偶，组成各力偶的力作用在轮缘上，θαθαsin sin sin sin Pa aP M AB =⨯⨯=习题A它们的大小分别等于10N 、20N 和F 。

如这三圆盘所构成的物系处于平衡，不计物系重量，求能使此物系平衡的力F 的大小和角α。

解：此力系为空间力偶系，列平衡方程由（1）、（2）式联立解得4-8 截面为工字形的立柱受力如图示，试求此力向截面形心C 平移的结果。

习题101502502cos(90)0(1)0201002502sin(90)0(2)xy M F M F αα=-⨯⨯+⨯⨯-︒==-⨯⨯+⨯⨯-︒=∑∑143.1350NF α=︒=解：将力F 向截面形心C 平移的结果为一个力F'和一个力偶M C4-9 力系中F 1=100N ，F 2=300N ，F 3=200N 。

各力作用线的位置如图所示，试将力系向原点O 简化。

习题()0.125(100)0012.5kN m ()00(0.05)(100)5kN m ()(0.05)00.12500()()()12.55kN mx z y y x z z y x c x y z M yF zF M zF xF M xF yF M M M =-=⨯--⨯=-⋅=-=⨯--⨯-=-⋅=-=-⨯-⨯==++=--⋅F F F M F F F i j 0,100kN100kNx y z F F F ===-'=-F k解：将力系向原点O 简化得N59.10512001005100100N 61.24913330013100300N29.3545220013230051002001310020031232=-=-=='=⨯==='-=-⨯-=--=='∑∑∑F F F F F F F F F F F z Rzy Ryx RxmN 59.1033.0522002.01333003.051002002.013100300)(m N 64.361.01323002.01001.0131002002.0)(mN 78.513.0512001.01333003.051001001.013100300)(322132⋅=⨯+⨯⨯=⨯+⨯==⋅=⨯-⨯-=⨯-⨯-==⋅-=⨯-⨯⨯-=⨯-⨯-==∑∑∑F F M M F F M M F F M M z z y y x x F F F4-10 在图示起重机中，AB= BC= AD = AE；点A、B、D和E等均为球铰链连接，如三角形ABC的投影为AF线，AF与y轴夹角为 ，如图。

求铅垂支柱和各斜杆的内力。

习题Cxy zA F4α F F C AF C BC xyz DEA F 49αF α B((C xyz DEA F 49α α B F BEF BD F BAF'(解：取C 铰及重物为研究对象，受力如图（b ）所示。

建立坐标系如图，列平衡方程取B 铰为研究对象，受力如图（c ）所示。

且F'CB =F CB ，列平衡方程cos 4502cos 450sin 45cos cos 02sin 45(2)2zCA CA xCA CB CB CA F F F FF FFF F F F F F αα=-︒-==-=-︒=-︒-==-︒=--=∑∑由（1）、（2）式联立解得4-11 水平轴上装有两个带轮C 和D ，轮的半径r 1=20cm ，r 2=25cm ，轮C 的胶带是水平的，其拉力F 2 = 2F 1=5000N ，轮D 的胶带与铅垂线成角30=α，其拉力F 3 = 2F 4；不计轮轴的重量。

求在平衡情况下拉力F 3 和F 4的大小及轴承约束力。

(cos sin )(cos sin )BD BE F F F F αααα=-=+0sin 45sin 45sin 45sin 45sin 0(1)0sin 45cos 45sin 45cos 45cos 0(2)(3)xBD BE CByBD BE CBCB CB F F F F FF F F F F F αα='︒⨯︒-︒⨯︒+=='-︒⨯︒-︒⨯︒+='==∑∑0cos 45cos 45cos 02Fcos zBD BE BA BA FF F F F αα=-︒-︒-==-∑解：取水平轴及两个带轮为研究对象，受力如图（b ）所示。

列平衡方程N40002N200025.02.025000220,0)(4321142424111124231211===⨯===-+-=-+-=∑F F r r F F r F r F r F r F r F r F r F r F MyFN412525.0250035.130sin 2000305.035.130sin 3205.0)()15.0(sin )()5.015.0(0)(142143-=⨯⨯-⨯︒⨯⨯-==⨯-⨯︒-⨯-=+-+⨯+-++-=∑Bx Bx Bx zF F F F F F F F F MαFN389725.130cos 2000305.130cos 320)15.0(cos )()5.015.0(0)(443=⨯︒⨯⨯==⨯︒-⨯=+⨯+-++=∑Bz Bz Bz xF F F F F F MαF习(N129930cos 20003389730cos 3030cos 30cos )(04443=︒⨯⨯+-=︒+-==︒-+=+-+=∑F F F F F F F F F F FBz Az Bz Az Bz Az zαN637530sin 2000325003)4125(30sin 33030sin 330sin )(041414321-=︒⨯⨯-⨯---=︒---==︒+++=+++++=∑F F F F F F F F F F F F F F FBx Ax Bx Ax Bx Ax xα4-12 水平轴上装有两个凸轮，一个凸轮上作用已知力F 1=800N ，另一个凸轮上作用未知力F ，如图所示。