第十四章 组合变形习 题14−1 截面为20a 工字钢的简支梁，受力如图所示，外力F 通过截面的形心，且与y 轴成φ角。

已知：F =10kN ，l =4m ，φ=15°，[σ]=160MPa ，试校核该梁的强度。

解：kN.m 104104141=⨯⨯==Fl M kN.m;58821510kN.m;65991510.sin φsin M M .cos φcos M M y z =⨯===⨯==查附表得：33cm 531cm 237.W ;W y z ==122.9MPa Pa 109122105311058821023710569966363=⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=--....W M W M σy y z z max[]σσmax <，强度满足要求。

14−2 矩形截面木檩条，受力如图所示。

已知：l =4m ，q =2kN/m ，E =9GPa ，[σ]=12MPa ，4326'= α，b =110mm ，h =200mm ，1][=f。

试验算檩条的强度和刚度。

z解：kN.m 442818122=⨯⨯==ql M kN.m;789143264kN.m;578343264.sin φsin M M .cos φcos M M y z ='⨯==='⨯== m ...W ;m ...W y z 42421003341102206110333722011061--⨯=⨯⨯=⨯=⨯⨯=MPa 329Pa 1032910033410789110333710578364343......W M W M σy y z z max=⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=-- []σσmax <，强度满足要求。

m...sin EI φsin ql f m...cos EI φcos ql f y y zz 33943433943410931411022012110938443264102538451003492201101211093844326410253845--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯'⨯⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯'⨯⨯⨯⨯==mm ..f f f y z 4517104517322=⨯=+=-20012291<=l f ，所以挠度满足要求。

14−3 一矩形截面悬臂梁，如图所示，在自由端有一集中力F 作用，作用点通过截面的形心，与y 轴成φ角。

已知：F =2kN ，l =2m ，φ=15°，[σ]=10MPa ，E =9GPa ，h/b =1.5，容许挠度为l /125，试选择梁的截面尺寸，并作刚度校核。

解：=M kN.m;0351154kN.m;8643154.sin φsin M M .cos φcos M M y z =⨯===⨯== []6232310106110035*********⨯=≤⨯+⨯=+=σhb .bh .W M W M σy y z z max将h/b=1.5代入上式得：mm b 113≥;则mm h 170≥。

取b=110mm;h=170mmzzm...sin EI φsin Fl f m...cos EI φcos Fl f y y zz 339333339333101381101701211093152102310711217011012110931521023--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==mm ..f f f y z 0815100815322=⨯=+=-20012651<=l f ，所以挠度满足要求。

14−4 一矩形截面悬臂梁，如图所示，在梁的水平对称平面内受到集中力F 1=2kN 作用，在铅直对称平面内受到F 2=1kN 的作用，梁的截面尺寸b =100mm ，h =200mm ，E =10GPa 。

试求梁的横截面上的最大正应力及其作用点的位置，并求梁的最大挠度。

解：kN.m;422kN.m;22112=⨯===⨯==l F M l F M y z m ...W ;m ...W y z 42421033310206110676201061--⨯=⨯⨯=⨯=⨯⨯=MPa 15Pa 1015103331041067610264343=⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=--..W M W M σy y z z max（A 点） m..EI l F f m..EI l F f y y z33933323393331110321020121101032102310420101211010321013--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==mm ..f f f y z 2532102532322=⨯=+=-14−5 一矩形截面斜梁，受铅直荷载作用，如图所示。

已知：l =4m ，q =4kN/m ，b =110mm ，h =200mm ，试：（1） 作轴力图和弯矩图；（2） 求危险截面（跨中截面）上的最大拉应力和最大压应力值。

解：(1) 弯矩图和轴力图如图所示（2）m .kN .cos cos ql M max 936304481308122=⨯⨯⨯==kN sin sin ql N max 8304430=⨯⨯==MPa 279Pa 10279201101042011061109366323max .......A N W M σ=⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯=-=拉MPa 639Pa 10639201101082011061109366323max .......A N W M σ=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==＋＋压14−6 图示一三角形支架，横梁AB 用20a 工字钢制成，梁中间有一集中力F 作用。

已知：l =3m ，F =30kN ，α=30°，求AB 梁内的最大正应力。

设工字钢自重不计。

解：AB 梁内的最大正应力发生在梁跨中截面：kN.m 5223304141.Fl M =⨯⨯==kN 3152330kN;30=⨯===NAB NBC F F F 查附表得：23cm 57835cm 237.A ;W ==102.24MPa Pa 1024102105783510315102371052264363=⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=--...A N W M σmax14−7 一矩形截面杆件，受力如图所示。

F 1作用在杆件的对称平面内，F 2、F 3的作用线与杆件的轴线重合。

已知：F 1=15kN ，F 2=15kN ，F 3=30kN ，l =2m ，杆件的截面尺寸：b =150mm ，h =200mm ，试求杆横截面上的最大压应力和最大拉应力。

解：杆的最大压应力和最大拉应力发生在杆的底截面。

此处弯矩值为kN.m302151=⨯==l F M MPa 513Pa 105312015010301520150611030632332c ....)(..A F F W M σmax-=⨯-=⨯⨯+-⨯⨯⨯-=++= MPa 528Pa 105282015010301520150611030632332t ....)(..A F F W M σmax=⨯=⨯⨯+-⨯⨯⨯=+-=14−8 一正方形截面杆件，边长为a ，承受轴向拉力如图所示。

现在杆件中间某处挖一个槽，槽深4a，试求：习题14−6图 习题14−7图（1）开槽前槽口处截面m m -上的最大拉应力；（2）开槽后槽口处截面m m -上的最大拉应力和最大压应力以及所在点的位置。

解：（1）开槽前2m a x a Fσ＝ （2）开槽后：4396943618232a A ,a a a W ,a F M ==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅=09698433896984332232===+=+a aFa F W M A F σ;a F a a Fa F W M A F σ－－＝＝压拉 14−9 一矩形截面柱，受力如图所示，F 1的作用线与柱轴线重合，F 2的作用线与轴线有一偏心距y F =150mm ，已知：b =120mm ，h =200mm ，F 1=80kN ，F 2=50kN ，试求柱横截面上的最大拉应力和最大压应力。

欲使柱横截面内不出现拉应力，问偏心距y F 应等于多少？此时的最大压应力为多少？解：柱底截面的弯矩值为：kN.m57150502..y F M F =⨯==MPa 7914Pa 1079142012010508020120611057632321c ....)(...A F F W M σmax-=⨯-=⨯⨯+-⨯⨯⨯-=++=MPa 963Pa 109632012010508020120611057632321t ....)(...A F F W M σmax=⨯=⨯⨯+-⨯⨯⨯=+-= 由：0201201050802012061105032321t =⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯=+-=..)(..y A F F W M σF得：mm m .y F 870870==此时习题14−8图 m习题14−9图MPa 8510Pa 10851020120105080201206110087050632321c ....)(...A F F W M σmax-=⨯-=⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯-=++=14−10 一砖砌的烟囱高h =50m ，自重G 1=2800kN ，烟囱底截面（1−1）外径d 1=3.5m ，内径d 2=2.5m ，受风荷载q =1.2kN/m 的作用，基础埋深h 1=5m ，基础及回填土重量G 2=1200kN ，地基的容许压应力为[σ]=0.3MPa ，试求：（1）烟囱底截面（1−1）上的最大压应力； （2）求圆形基础的直径。

解：（1）1−1截面的弯矩值为：kN.m 15005021212122=⨯⨯==.qH M MPa 1551Pa 1015514524531028005253321015006223333c ..)..(π)..(πA G W M σmax-=⨯-=-⨯--⨯⨯-=--=(2) 基础底截面弯矩值为：kN.m 1800550215021212122=⨯⨯+⨯⨯=+=..qHd qH M 由[]σσmaxc ≤得：[]σD π)(DπA G W M σm ax ≤⨯+-⨯-=--=41012002800321018002333c 解上式得：m 355.D ≥14−11 有一矩形素混凝土水坝，如图所示，试求当水位达到坝顶时，水坝底面处的最大拉应力和最大压应力。

设混凝土容重为24kN/m 3。

如果要求坝底不出现拉应力，则最大容许水深为多少？习题14−11图1−1解：坝底截面的弯矩值为：kN.m 82242212189616122....H q M max =⨯⨯⨯==MPa2170102170130102130241306110822426323c .pa ......A G W M σmax-=⨯-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-=--=MPa 159********30102130241306110822426323t .pa ......A G W M σmax=⨯=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-= 若要求坝底不出现拉应力，则由013010213024130611089613233t =⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-=....h .A G W M σmax解上式得：m .h 6420=14−12 一圆形截面的曲拐，受力如图所示，已知：F =1kN ， E =200GPa ，G =0.4E ，圆截面直径d =120mm ，试求自由端C 的挠度。