类似地，有

csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a

n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na

这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．

设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．

dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2


1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2

再将 t 2 x 代入，得

1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)

x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
4
在凑微分时，常用到下列微分式子，熟悉 它们有助于求不定积分．
1 dx d (ax b) a 1 dx d (ln x) x 1 1 dx d ( ) 2 x x
1 xdx d ( x 2 ) 2
1 dx 2d ( x ) x
1 dx d (arctan x) 2 1 x



2t ln 1 t C
2 3 x ln(1 3 x ) C． 应注意，在最后的结果中必须代入 t 3 x ，返回到原积分变量 x ．
1 (12) x 2 x dx (2 x ) C 3
29
e (13) 2 dx e C x (14)
1 x
1 x

1 dx ln ln x C x ln x
2 x 3 1
(15)
x e
1 x 3 1 C dx e 3
30
5.3.2 第二类换元法
5
1 1 x
2
dx d (arcsin x)
e dx d (e )
x x
sin xdx d (cos x)
cos xdx d (sin x)
sec xdx d (tan x)
2
csc2 xdx d (cot x)
6
练习:填空题
(1)
(2)
(3) (4)
(5)
1 dx _____ 7 d (7 x 3) 1 2 d( x ) dx _____ x 1 2 xdx _____ 2 d (1 x ) 1 2x e dx _____ d (e 2 x ) 2 x x e 2 dx _____ 2 d (e 2 2)
1 4 1 6 1 8 cos x cos x cos x C2 4 3 8
注意：本题利用不同解法所得到的结果在 形式上有所不同．但不难验证，它们仅相差一 个常数．
18
例9 解
求

dx (a 0) ． a 2 x2
1 1 1 1 ( ) ，所以 因为 2 2 a x 2a a x a x
而 x (t ) 的反函数 t 1 ( x) 存在且可导， 则


f ( x)dx

f (t ) (t )dt，
F (t ) C ， 再将 t 1 ( x) 代入上面的 F (t ) ，回到原积 分变量，有 f ( x)dx F 1 ( x) C ，(4.3.2)


类似可得

1 1 xa dx ln C． 2 2 x a 2a x a
20
例10
求 sec xdx ．

1 解 sec xdx dx cos x cos d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x (利用例9的结果)


1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 1 sin x
如果不定积分
积分表计算，也可以引入新变量 t ，并选择代 换 x (t ) ，其中 (t ) 可导，且 (t ) 连续，将

f ( x)dx 不易直接应用基本
不定积分

f ( x)dx 化为

f (t ) (t )dt
31
如果容易求得 f (t ) (t )dt F (t ) C ，

3. e x f (e x )dx


f (e x )dex ；
22
1 4. x f (ln x)dx
f (ln x)d(ln x) ； 5. cos xf (sin x)dx f (sin x)d sin x ；
6.

1 f (tan x)dx f (tan x)d tan x ， 2 cos x 1 f (cot x)dx f (cot x)d cot x ． 2 sin x
7
2 2 2 (6) sin xdx _____ d (cos x ) 3 3 3 1 1 (7) dx _____ d (3 5ln x ) 5 x 1 3 (8) x dx _____ d (3 x 4 1) 12 1 1 (9) dx _____ 2 d (arctan 2 x ) 2 1 4x x d( 1 x2 ) (10) dx _____ 1 x2

1 dx 2 x 1 2 a
1 a

1 x 1 x d( ) arctan C ． x 2 a a a 1 ( ) a
用类似的方法还可以求得 1 x dx arcsin C． 2 2 a a x

13
例5 解
求 xe dx ．
x2
1 由于 xdx d( x 2 ) ，所以 2 1 x2 x2 xe dx e d( x 2 ) 2 1 x2 e C． 2

dx 1 1 1 ( )dx 2 2 a x 2a a x a x 1 1 1 ( dx dx) 2a a x ax



19
1 1 1 [ d ( a x) d ( a x )] 2a a x ax 1 ln a x ln a x C 2a 1 ax ln C． 2a a x
9
1 dx ． 3 2x 1 解 被积函数可以写成 (3 2 x) 2 ， 设 t 3 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx 1 dt 因此 2 1 1 1 2 dx t （ ）dt 2 3 2x 1 1 （ ） (2)t 2 C 2
如果 f (t ) ， ( x ) 和 ( x)都是连续函数，并 且容易求得 f (t ) 的一个原函数 F (t ) ，



2
则
f ( x)( x)dx f ( x)d ( x) f (t )dt F (t ) C ，
f ( x) ( x)dx F ( x) C ． (4.3.1)



14
例6
解

cos x dx 求 x cos x dx x

2 cos x d x
2 sin x C ．

15
求 tan xdx ． 解 因为 tan xdx sin x dx ， cos x 而 ． sin xdx d cos x sin x 所以 tan xdx dx cos x 1 d cos x ln cos x C ． cos x 例7
例2
求



10
注意： 在对变量替换比较熟练后，可以 不必写出新设的积分变量，而直接凑微分．例 如：
例1

1 sin 2 xdx sin 2 x d(2 x) 2 1 cos 2 x C ； 2

11
例2

1 1 1 dx (3 2 x) 2 d (3 2 x) 2 3 2x
25
练习2 计算下列不定积分
(1) e x dx e x C (2)

1 dx ln | x 2 | C x2
2
1 (3) x a x dx (a x ) C 3
3 2 2
26
(4)

1 dx ln | 1 ln x | C x (1 ln x )

例3
求 (5 x 3)11dx
解

1 (5 x 3) dx (5 x 3)11d(5 x 3) 5 1 (5 x 3)12 C ． 60
11