高一年级第一学期期末考试
数学答案
一、选择题： DACAC BDDAC
二、填空题： 11. 80 12. 0534=±-y x 13.28 14. 2>a 15. ② ④
三、解答题：
16.解：（1）∵0=b ，∴直线()01:1≠=a a
x l ………………………………… 3分 ∵21l l ⊥，∴ 02=+a ，即2-=a .…………………………………… 6分
（2）∵2=b ，∴直线1l 的斜率为
2a . 又∵12//l l ，∴ ()22+-=a a ，解得3
4-=a ， …………………… 9分 ∴直线0364:1=++y x l ，直线0864:2
=-+y x l . 直线1l 与2l 之间的距离()26131164832
2=+--=d .…………………………………12分 17.证明：(1) 因为四边形ABCD 是矩形,
所以AB //CD ,⊄AB 平面CDEF ,
所以AB //平面CDEF , ………………………………… 3分 ⊂AB 平面ABFE ,
平面ABFE ⋂平面EF CDEF =,AB //EF . ……………………… 6分
(2) 因为⊥DE 平面ABCD , ⊂BC 平面ABCD ;
所以BC DE ⊥,
因为CD BC ⊥, D DE CD =⋂,⊂DE CD ,平面CDEF , …………… 9分 所以⊥BC 平面CDEF ,⊂BC 平面BCF 内，
所以平面⊥BCF 平面CDEF . …………………………………… 12分
18．解:(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等．
∴2=a ，方程即为03=+y x . …………………………………… 3分 当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
得21
2-=+-a a a ，即11=+a ，∴0=a ，方程即为02=++y x . A B
C D E F
综上，l 的方程为03=+y x 或02=++y x . …………………………………… 6分
(2)将l 的方程化为2)1(-++-=a x a y ，
∴⎩⎨⎧≤->+-020)1(a a 或⎩
⎨⎧≤-=+-020)1(a a ∴1-≤a .
综上可知a 的取值范围是1-≤a . …………………………………… 12分
19.解：⑴由题意知，当300≤≤x 时，();60=x v
当21030≤≤x 时，设(),b ax x v +=
由已知可得⎩⎨⎧=+=+02106030b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=70
31b a .
所以函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤=21030,703
1300,60x x x x v . …………………………………… 6分 ⑵由⑴可知()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤=21030,703
1300,602x x x x x x f 当300≤≤x 时，()x x f 60=为增函数，
∴当30=x 时，其最大值为1800. …………………………………… 9分 当21030≤≤x 时，()()36751053
1703122+--=+-=x x x x f ， 当105=x 时，其最大值为3675. …………………………………… 11分 综上，当车流密度为105辆/千米时，车流量最大，最大值为3675辆. ……… 12分
20．解：（1）取AB 的中点E ，连结DE CE ，，
因为∆ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥．…………………………………… 3分 当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面⋂ADB 平面ABC AB =，
所以DE ⊥平面ABC ，可知DE CE ⊥
由已知可得1DE EC ==， 在DEC Rt △
中，2CD ==．…………………………………… 7分
(2）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．
证明如下：
①当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，
所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥……………………… 9分 ②当D 不在平面ABC 内时，由（1）知AB DE ⊥．
又因AC BC =，所以AB CE ⊥．
又DE CE ，为相交直线，
所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥．
综上所述，总有AB CD ⊥． …………………………………… 13分
21. 解：(1) 连结1AC ,交C A 1于点F ,则F 为1AC 中点，
又D 是AB 中点，连结DF ,则DF BC //1,
因为⊂DF 平面CD A 1 ,⊄1BC 平面CD A 1,
所以//1BC 平面CD A 1. …………………………………… 3分
（2）直三棱柱111C B A ABC -中，
因为AC AA =1，所以C A AC 11⊥ ………………………………… 4分 因为CB CA ⊥, BC C B //11,
所以⊥11C B 平面11A ACC ,所以C A C B 111⊥…………………………… 6分 1111C AC C B =⋂,所以⊥C A 1平面11C AB
所以11AB C A ⊥ …………………………………… 8分
(3) 在直三棱柱111C B A ABC -中，CD AA ⊥1,
已知,CB AC =D 为AB 的中点,所以AB CD ⊥,
⊥CD 平面11A ABB .
∴DB CD DE CD ⊥⊥,,
∴ BDE ∠为二面角B CD E --的平面角.
在DEB Rt ∆中，2
2tan =∠BDE . 由,21===CB AC AA CB CA ⊥ ，
∴22=AB ，2=DB .
A
B C D
E
∴2
2=DB BE ,得1=BE .∴点E 为1BB 的中点. …………………………11分 又∵2=
CD ,61=D A ,3=DE ,31=E A , 故21221E A DE D A =+,故有D A DE 1⊥ 所以123621313111=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=
∆-DC S V DE A DE A C ………………14分。