LINGO 软件简介LINGO 软件是一个处理优化问题的专门软件，它尤其擅长求解线性规划、非线性规划、整数规划等问题。

一个简单示例有如下一个混合非线性规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+++---+为整数2132121321322212121,;0,,210022..15023.027798max x x x x x x x x x x t s x x x x x x x 。

LINGO 程序（模型）： max =98*x1+277*x2-x1^*x1*x2-2*x2^2+150*x3;x1+2*x2+2*x3<=100; x1<=2*x2;@gin (x1);@gin (x2);! Lingo 默认变量非负（注意：@bin(x)表示x 是0-1变量；@gin(x)表示x 是整数变量；@bnd(L,x,U)表示限制LxU ；@free(x)表示取消对x 的符号限制，即可正、可负。

） 结果：Global optimal solution found.Objective value:Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 45Variable Value Reduced Cost X1 X2 X3Row Slack or Surplus Dual Price 1 2 3 ———————— 非常简单！在LINGO 中使用集合为了方便地表示大规模的规划问题，减少模型、数据表示的复杂程度，LINGO 引进了“集合”的用法，实现了变量、系数的数组化（下标）表示。

例如：对⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-++-==≤++∑=.,,;10)0(;4,3,2,1),()())()1()(;4,3,2,1,20)(..)}(20)(450)(400{min4,3,2,1均非负INV OP RP INV I I DEM I OP I RP I INV I INV I I RP t s I INV I OP I RP I求解程序：model : sets :mark/1,2,3,4/:dem,rp,op,inv;!也可以vmark/1..4/:dem,rp,op,inv;endsetsmin=@sum(mark:400*rp+450*op+20*inv);!也可以mark(I):400*rp(I)+450*op(I)+20*inv(I);@for(mark(I): rp(I)<40);@for(mark(I)|I#gt#1: inv(I)=inv(I-1)+rp(I)+op(I)-dem(I));inv(1)=10+rp(1)+op(1)-dem(1);data:dem=40,60,75,35;enddataend上面程序在model…end之间有（1）集合定义、（2）数据输入和（3）其他三部分内容。

集合定义部分（从sets：到endsets）：定义了一个指标集合mark（可以理解为数组下标及其范围）和其4个属性dem、rp、op、inv（用此向量的数组变量）。

数据输入部分（从data：到enddata）依次给出常量（dem）的值。

其他部分：给出优化目标及约束。

一般而言，LINGO中建立优化模型的程序可以由五部分组成，或称为五段（section）：（1）集合段（SETS）：这部分以“SETS：”开始，以“ENDSETS”结束，作用在于定义必要的集合变量（SET）及其元素（member，含义类似于数组的下标）和属性（attribute，含义类似于数组）。

（2）目标与约束段：这部分实际上定义了目标函数、约束条件等，但这部分没有段的开始和结束标记；该段一般常用到LINGO内部函数，尤其是和集合相关的求和函数@SUM和循环函数@FOR等。

（3）数据段（DATA）：这部分以“DATA：”开始，以“ENDDATA”结束，作用在于对集合的属性（数组）输入必要的常数数据。

格式为：attribute(属性)=value_list(常数列表);常数列表中的数据之间可以用逗号、空格或回车符分隔。

如果想要在运行时才对参数赋值，可以在数据段使用输入语句，其格式为“变量名=；”，但仅限对单个变量赋值，而不能用于属性变量（数组）的单个元素。

（4）初始段（INIT）：这部分以“INIT：”开始，以“ENDINIT”结束，作用在于对集合的属性（数组）定义初值（因为求解算法一般是迭代算法,提供一个较好的初值，能提高计算效果）。

定义初值的语句格式为：attribute(属性)=value_list(常数列表);这与数据段中的用法类似。

（5）计算段（CALC）：这部分以“CALC：”开始，以“ENDCALC”结束，作用在于对一些原始数据进行预处理加工，使其成为模型直接需要的数据。

该段中通常是计算赋值语句。

基本集合与派生集合为了处理二维数组变量等有多个下标的问题，LINGO引入了“派生集”的概念。

我们把直接列出元素的指标集合叫“基本集合”，而基于其他集合派生出来的二维或多维指标集合称为“派生集”。

派生集的定义格式为：派生集名（原始集合1，原始集合2，…，原始集合n）：属性变量列表；实际上就是笛卡儿积的意思，即：派生集={(i1,i2,…i n)| i1集合1, i2集合2,…, i n集合n}。

1）一个应用例子（布局问题）：某些建筑工地的位置（用平面坐标a,b表示）及水泥日用量d已知。

现有A、B两临时料场位于P（5，1）、Q（2，7），日储量20。

问A、B两料场分别向各工地运输多少吨水泥，使总吨公里数最小若重新安排两料场的位置，应怎样安排才能使总吨公里数最小这样安排可节省多少吨公里设工地位置（a i,b i）,水泥日用量为d i（i=1,2,…,6）；料场位置（x i,y i）,日储量e j,j=1,2；从料场j向工地i运送量为cij。

该问题的数学模型为：LINGO求解程序为：MODEL:sets:Imark/1..6/:a,b,d;Jmark/1,2/:x,y,e;IJmark(Imark,Jmark):c;endsetsdata:!Location for demand(需求点位置);a=,,,,3,;b=,,,5,,;!Quantities of the demand and supply(供需量);d=3,5,4,7,6,11;e=20,20;enddatainit:!Initial location for the supply(初始点);x,y=5,1,2,7;endinit!Objective function(目标);[OBJ] min=@sum(IJmark(i,j):c(i,j)*((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2)^(1/2));!demand contraints(需求约束);@for(Imark(i):[DEMAND_CON] @SUM(Jmark(j):c(i,j))=d(i););!supply constrains(供给约束);@for(Jmark(j):[SUPPLY_CON] @SUM(Imark(i):c(i,j))<=e(j););@for(Jmark: @free(x);@free(y););END2）一个动态规划的例子：（最短路问题）从S城市到T城市之间找一条最短路径，道路情况如下：数学模型为：LINGO求解程序：model:sets:cities/s,a1,a2,a3,b1,b2,c1,c2,t/:L; !属性L(i)表示城市S到城市i的最优行驶路线的里程;roads(cities,cities)/ !派生集合roads表示的是网络中的道路;s,a1 s,a2 s,a3 !由于并非所有城市间都有道路直接连接，所以将路具体列出;a1,b1 a1,b2 a2,b1 a2,b2 a3,b1 a3,b2b1,c1 b1,c2 b2,c1 b2,c2 !属性D(i,j)是城市i到城市j的直接距离(已知); c1,t c2,t/:D;endsetsdata:D= 6 3 36 5 8 67 46 7 8 95 6;L=0,,,,,,,,; !因为L(s)=0;enddata@for(cities(i)|i#gt#@index(s): !这行中"@index(s)"可以直接写成"1";L(i)=@min(roads(j,i):L(j)+D(j,i));); !这就是最短路关系式;endVariable ValueL( S)L( A1)L( A2)L( A3)L( B1)L( B2)L( C1)L( C2)L( T)最短路径为： S-〉A3-〉B2-〉C1-〉T3）（指派问题）设有6个人做6件事。

其中c ij表示第i人做第j事的收益；设第i人做第j 事时x说明：其中“-”表示某人无法做该事。

可令其为-（表示绝对不行）或0（领薪不用干活）LINGO求解程序：MODEL:sets:Imark/1..6/:i;Jmark/1..6/:j;IJmark(Imark,Jmark):c,x;endsetsdata:!第i人做第j事的收益;c=20,15,16,5,4,717,15,33,12,8,69,12,18,16,30,1312,8,11,27,19,14-99,7,10,21,10,32-99,-99,-99,6,11,13;enddata[OBJ] max=@sum(IJmark(i,j): c*x);!每人做一项工作;@for(Imark(i): @SUM(Jmark(j):x(i,j))=1;);!每事一人做;@for(Jmark(j): @SUM(Imark(i):x(i,j))=1;);@for(IJmark: @bin(x));!本约束可以不要,因为有解时必为0或1;END4）（生产与销售计划问题）某公司用两种原油（A和B）混合加工成两种汽油（甲和乙）。

甲、乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别是4800元和5600元。

该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A。

原油A的市场价为：购买量不超500吨时单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超1000吨时，超过500吨部分单价为8000元/吨；购买量超过1000吨部分的单价是6000元/吨。

该公司应如何安排原油的采购和加工以获得最大利润数学模型：设原油A用于生产甲、乙两种汽油的数量分别是x11和x12，原油B用于生产甲、乙两种汽油的数量分别是x21和x22；购买原油A的数量是x吨，采购支出为c(x)千元/吨。