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中考数学辅导之—函数及其图象

中考数学辅导之—函数及其图象一、学习目标1、能正确画出直角坐标系;并能在直角坐标系中,依照点的坐标找出点,由点求出点的坐标。

2、能分清实例中显现的常量与变量、自变量与函数;对简单的函数表达式,能确定自变量的取值范畴,并会求出函数值。

3、能画出简单函数的图象;明白不仅能够用解析法,而且还能够用列表法和图象法表示函数。

二、教材简析函数是数学中的重要概念之一,它使我们从研究不变的量,转化为研究变量之间的相依关系。

函数不仅是一个重要的概念,也是一种专门重要的数学思想方法。

通过函数概念和图象的学习能够用几何图形来解析代数问题,使代数问题变得更形象、直观,便于明白得,另一方面,也能够用代数方法来研究几何问题。

本章内容包括三个单元。

第一单元是直角坐标系的初步知识,第二单元是函数及其图象,第三单元是常见的几种函数,包括一次函数(正比例函数)、二次函数、反比例函数及其图象。

(本讲要紧学习巩固第一、二单元,第三单元留待下学期复习)。

学习直角坐标系,建立有序实数与平面内的点的一一对应关系,为研究函数的图象作预备。

学习函数概念,第一要了解常量、变量概念,用动态的观点来看问题。

弄清函数的本质是具有某些特点的对应关系,抓住函数对自变量的依从关系确实是函数与自变量的对应关系。

函数关系中自变量的取值范畴是函数存在的不可缺少的部分。

了解函数有三种表示方法,即解析法、列表法和图象法。

能正确迅速地列表、描点并绘出函数图象,(以下为下学期内容)要逐步学会用图象总结函数的性质,由函数的性质能想象出表达式中自变量x与函数y的变化情形。

本章重点是函数的概念、函数解析式与图象性质的内在联系。

能灵活地进行数与形之间的变换是难点。

三、本讲(即第一、二单元)的重点内容有1、把握x轴、y轴上和四个象限内点的坐标的特点。

2、明白得建立了平面直角坐标系,就使平面上的点与一对有序实数之间建立起一一对应关系,建立数与形之间的联系,初步了解数形结合思想。

3、对函数概念的明白得和自变量取值范畴的确定。

4、函数的三种表示方法及用描点法画函数图像。

四、差不多内容及应注意的问题1、平面直角坐标系是以数轴为基础的,坐标平面内的点的坐标也是利用数轴上点的坐标来定义的。

有关直角坐标系的概念比较多,学习时应紧密结合图形,不能死记硬背定义,看到一个概念,脑子里要能赶忙反映出相关的图形。

如对“象限”的明白得,关键在于结合直角坐标系,能指出各个象限的位置,进而明确坐标轴上的点不属于任何一个象限的真正含义。

2、关于函数的意义,在初中时期要紧应领会两点:一是有两个变量,二是一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化。

3、关于函数自变量的取值范畴问题,要紧包含两个方面:一是自变量的取值使函数解析式有意义,这是常用的一个方面,也是往常学过的知识;二是自变量的取值使实际问题有意义,这一方面尽管用的不多,但需要对实际问题作具体分析,有一定难度。

4、关于函数值的问题,能够和求代数式的值的问题联系起来,注意运算的熟练与准确程度。

5、关于函数的三种常用的表示方法,应该有如此的认识:给出一种函数关系,依照需要,有时能够写出它的解析表达式,有时能够列出函数与其自变量的对应数值表,有时也能够画出它的图象;反过来,也能够用一个解析式,或一个反映两个变量的对应关系的数值表,或一个图象,来表示一个函数关系。

6、关于函数图象的意义,要注意到是“把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标。

”五、例题例1:若点P(3m-2,5-2m)在第二象限,求m的取值范畴解:∵点P(3m-2,5-2m)在第二象限∴ 3m-2<0 解得:m<2 35-2m>0注:依照各象限内点的横纵坐标的特点列出两个不等式,组成不等式组即可求得。

例2:若A点坐标为(m,n),它关于原点的对称点为A1,而A1关于x轴的对称点为A2,且点A2的坐标为(3,-4),求m、n的值。

解:∵A点坐标为(m,n)∴A点关于原点的对称点A1的坐标为(-m,-n),A1点关于x轴的对称点A2的坐标为(-m,n)又∵点A2的坐标为(3,-4)∴ -m=3 即:m=-3n=-4 n=-4注:本题是按题意中的对称关系顺次由点A的坐标推得点A2的坐标。

由于点的轴对称和中心对称关系是相互的,因此本题也可由点A2的坐标逆方向求点A 的坐标,即:A2(3,-4)→A1(3,4)→A(-3,-4)→m=-3,n=-4例3:已知点P(a,a-b)在第四象限,求:(1)Q(-a,b)所在象限。

(2)若a=b,则P点和Q点在什么位置?解:(1)∵P(a,a-b)在第四象限∴a>0,且a-b<0∴ b>a>0-a<0则:Q(-a,b)在第二象限(2)当a=b时,P、Q两点坐标可分别表示为P(a,0) Q(-a,a)又∵a>0∴P 点在x 轴正半轴上,Q 点在第二象限角平分线上(原点除外)。

注:(1)因为P 点在第四象限,横坐标a 为正值,纵坐标a-b 应为负值,因此b 必大于a ,也为正数;(2)当点的横、纵坐标相同时,该点在一、三象限角平分线上。

而点的横、纵坐标互为相反数时,点必在二、四象限角平分线上。

本例有前提P 在第四象限a >0,因此Q 只能在第二象限角平分线上,且原点要除外。

例4:求下列各函数的自变量取值范畴 (1)y x x =--31572 (2)y x =-156 (3)y x x =+35(4)y x x =+-23(5)y x x =-⋅-33 (6)y x x=--321 (7)y x x x =--0223解:(1)∵不论x 取什么值,原函数都有意义∴x 为全体实数(2)要使函数有意义,必须使15-6x ≥0∴x ≤52 (3)要使函数有意义,只须3x+5>0,∴x >-53(4)要使函数有意义,必须使 x+2≥0 ∴x ≥-2且x ≠3 x-3≠0(5)要使函数有意义,必须使 x-3≥0 即 x ≥3 ∴x=33-x ≥0 x ≤3(6)要使函数有意义,必须使 3-2x ≥0 ∴x ≤32且x ≠±1 1-x ≠0(7)要使函数有意义,必须使 x ≠0 ∴x ≠0,x ≠-1且x ≠3x 2-2x-3≠0例5:如图,锐角∆ABC 中,BC=10,高AD=6,EFGH 是它的内接矩形,设EF 为x ,EH 为y.求y 与x 的函数关系式分析:①学会在图中标注数据②EFGH 是∆ABC 的内接矩形,本身隐含着EH ∥BC 这一条件③EH ∥BC 提供 ∆AEM ∽∆ABD ⇒ AM AD AE AB = ⇒AM AD EH BC= ∆AEH ∽∆ABC ⇒ EH BC AE AB=即:6610-=x y ,变形即得:y x =-356() ④x 是矩形一边EF 的长度,因此0<x <6,那个地点x ≠0且x ≠6 因为x=0或x=6时矩形都不存在,也就失去了该题的实际意义了。

解:∵EFGH 为矩形∴EH ∥BC ⇒ ∆AEM ∽∆ABD ⇒ AM AD AE AB= ⇒ ∆AEH ∽∆ABC ⇒EH BC AE AB= ⇒AM AD EH BC =⇒6610-=x y ∴y x =-356() (0<x <6) 注:对依照实际问题得到的函数关系,它的自变量取值不仅要使函数解析式有意义,而且还要使实际问题有意义,应依照实际问题的限制,确定自变量的取值范畴。

例6:求y x x =-+1232,当x=12时的函数值 分析:实质上是当x=12时,求代数式x x -+1232的值。

解:当x=12时y x x =-+1232=12123122123123163131342363122-+=--+=---=-⋅-=-()()()() 例7:当x 为何值时,y x x =-+212与y=1-x 的函数值相等分析:此题即x 为何值时x x x -=+-1122成立解:当x x x -=+-1122时即:x 2+x=0 ∴x 1=-1,x 2=0经检验:x 1=-1,x 2=0差不多上原方程的根。

∴当x=-1或x=0时,两函数值相等。

六、练习及作业(一)、选择题1、 点M 在第二象限,且M 点到x 轴距离为2,到y 轴距离为3,则M 点坐标是:A 、 (2,3)B 、(3,2)C 、(-2,3)D 、(-3,2)2、 点P(m,-5)在第二、四象限夹角平分线上,则m 的值为:A 、15B 、-15C 、5D 、-5 3、 已知点A(5m-4,3-m)在第二象限,则m 的取值范畴是:A 、m <3B 、m <45C 、m >3D 、45<m <3 4、 已知点M(a,0)在x 轴的负半轴上,则点N(1+a 2,-a)在:A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5、 已知ab ≠0,则坐标平面上四个点A(a,b)、B(-a,-b)、C(a,-b)、D(-a,b)中关于x 轴对称的点是:A 、 A 与B ,C 与D B 、A 与C ,B 与DC 、A 与D ,B 与C D 、A 与B ,B 与C6、在下列函数中,与y=x-2图像完全相同的函数是:A 、 y x =-()22B 、y x =-()22C 、y x =-()233 D 、y x x =-+242(二)、填空题:7、已知点P 的坐标是(m-n,m+n),则点P 关于x 轴的对称点坐标是______,点P 关于x 轴的对称点坐标是______,点P 关于原点的对称点坐标是______。

8、在x 轴上的点_____坐标是零;在第四象限夹角的平分线上的点P 坐标 为(m,n),则m 、n 的关系是______。

9、以(4,0)为圆心,5为半径画一圆,则此圆与y 轴的交点坐标为______。

10、把等腰三角形的一个底角的度数y 表示成顶角度数x 函数解析式是______, 自变量x 的取值范畴是______。

(三)、解答题:11、求下面各函数中自变量取值范畴 (1)y x x=+1 (2)y x x =++13(3)y x x =-+-111212、∆ABC 的∠∠B C 和两角的角平分线交于点D ,设∠BDC 度数为y ,∠A 度数 为x ,求y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范畴。

13、已知点M 坐标为(-5,0),点N 在第三象限坐标为(x,y)且x+y=-6,设∆OMN 面积为S 。

(1)求S 关于x 的函数表达式(2)求x 的取值范畴(3)当S=10时,求N 点坐标七、答案及解题指导1、D2、C3、B4、A5、B6、C解题指导:1、设M 点坐标为(x 0,y 0)则由题意有x 0<0,y 0>0及y x 0023==,,得x 0=-3,y 0=2。

2、第二、四象限夹角平分线上的点,其横坐标和纵坐标互为相反数,故m+(-5)=0得m=5。

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