k

E(xt xtk )


2
GiGik
io
对于上式，可以证明如下结论：
Var
(
xt
)


2
G
2 j
j0
且：
E(
t
xt
j
)


0
2 a
j0 j0

k

E(xt xtk )


2 a
GiGik
io

由于平稳过程的方差存在。因此必须有
设 x0 0
则 x1 1 x2 1 2
xt的方差随时间
而改变，因此过程 是非平稳的。
x3 1 2 3

于是有 xt t
因此 Ext Et t 0 0
var(xt ) t 2
虽然随机游走过程是非平稳的，但是我们看到，它的一 阶差分却是平稳的：
证明：
E(xt ) E(G0t G1t1 G2t2 ) 0

Var ( xt
)
Var(G0t
G1 t1
G2 t2


)


2
G
2 j
j0
xt G0t G1t1 G2t2
xtk G0 tk G1 tk1 G2 tk2 Gk t Gk1t1
B xt
1B 2

B2
Bt

p
B
p
B 11B 2B2 qBq
且，B和 B 之间不出现公共因子。
四、 求和自回归移动平均模型（ARIMA ,
Integrated Autoregressive Moving average model）
若μ未知，可估计如下模型：
其中：
xt


1 xt 1

20xt
2

p xt p
0 t
1 1 2 p
今后在分析AR模型时，都简化为对它的中心化模型进
行分析。
自回归系数多项式
引进滞后算子，中心化 AR( p)模型又可以为
xt 1Bxt 2B2xt pBp xt t
xt xt xt1 t
有些研究表明，许多经济时间序列呈现出随机游走或至 少有随机游走的成分，如股票价格，这些序列虽然是非 平稳的，但它们的一阶(或高阶)差分却是平稳的。Box— Jenkins就是利用差分这种数学工具来使非平稳序列转化 为平稳序列的。
(二).二阶自回归模型，AR(2)
通过这一种形式可以看出，AR(1)模型通过消除xt中依赖于 xt-1的部分，而使相关数据转化成了独立数据。
AR(1)模型的滞后算子形式：
(11B)xt1 t
2.随机游走(Random Walk)过程
如果一个时间序列xt的合适的模型为如下的形式：
xt xt1 t
其中：εt为白噪声序列，那么就称xt为随机游走过程 。
(1 B)d xt d xt
思考：如果{xt}是一个非零均值的平稳时间序列， 怎么对其建立ARIMA(p,d,q)模型？
其中：
B(1 B)d (xt ) (B)t
B 11B 2B2 pB p B 11B 2B2 qBq
1.设{xt}为零均值的随机序列，如果关于xt的合适模型为：
其中：
xt 1xt1 2 xt2 t
（1）εt是白噪声序列
E(
t
)

0，Var(
t
)


2
,
E(
t
s
)

0,
s

t
（2） Exst 0,s t
那么我们就说xt遵循一个二阶自回归或AR(2)随机过程。
如果序列xt是均值非平稳的，对其进行d次差分后，变成了 平稳的序列Δdxt，这个差分后的平稳序列的适应性模型为 ARMA(p,q) ，此时就称对原始序列xt建立了ARIMA(p,d,q) 模型。 其中： p为自回归部分项阶数， q指移动平均部分 阶数， d为使序列平稳之前必须对其差分的次数。
例如： ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之 转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。 ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。
xt (11B 2B2 qBq )t (B)t
三、自回归移动平均模型, ARMA(p,q)
如果零均值序列｛Xt｝的当前值不仅与自身的过去值有 关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存 关系，那么它可以用如下的线性模型来描述：
xt 1xt1 p xt p t 1 t1 q tq
二、时间序列模型的可逆性(invertibility)
如果一个时间序列的模型可以写成如下形式：
t xt 1xt1 2 xt2 3xt3
其中， εt为白噪声过程。

且满足：1 j j 1
则称｛xt｝具有逆转形式（或可逆形式）。系数｛πj｝ 称为逆函数。
对于一个有限阶的自回归模型AR(P)
xt 1xt1 2 xt2 p xt p t
总有：
p
1 j 1 j
j 1
j 1
所以，一个有限阶的AR(P)模型本身就是一种逆转形式。
√
AR(p)
?
?
MA(q)
√
可逆性
?
?
平稳性
ARMA(p,q)
xt t G1t1 G2t2
其中， εt为白噪声过程。

且满足：
G
2 j

,
(G0 1)
j0
就称该模型是平稳的。
上式称为wold展开式。如果一个时间序列模型可以写成上 述形式，则称该模型具有传递形式。系数｛Gj｝称为格林 函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。
G
2 j


j0
这是平稳过程的条件。
对于一个有限阶的MA(q)模型
xt t 1 t1 2 t2 q tq
总有：

q
G
2 j
1
i2
j0
i1
所以，一个有限阶的MA(q)模型总是平稳的。
一个有限阶的MA(q)模型本身就是一种传递形式。
其中： （1）p 0，q 0
（2）
为t 白噪声过程，即E(
t
)

0，Var ( t
)


2
,
E(
t
s
)

0,
s

t
（3）Exst 0,s t
则称Xt满足自回归移动平均过程，记为ARMA(p,q)。
利用滞后算子，ARMA(p,q)模型可写为：
其中：
B
பைடு நூலகம்


1
(1 H1B)(1 H2B) (1 H p B) 0
由 ( B) xt
t ,得：x
t

1

1B


t
2B
2

pBp
(B)1t
由于 ( B)可表示为:
(B) (1 H1B)(1 H2B) (1 H p B)
其中，H
1, H2,
H
为待定常数，
“随机游走”一词首次出现于1905年自然（Nature）杂志 第72卷Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。该信件 的题目是“随机游走问题”。文中讨论寻找一个被放在野 地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。
随机游走过程是非平稳时间序列
证明：
对于 xt xt1 t
二、移动平均模型（Moving average model , MA）
（一）一阶移动平均模型，MA(1) 如果关于零均值随机序列xt的合适的模型如下：
xt t 1t1
其中：εt为白噪声序列，那么就称xt满足一阶移动平均 过程，记作MA(1) 使用滞后算子，MA(1)模型可以写成：
xt (11B)t
（二）一般移动平均模型，MA(q)
如果关于零均值时间序列xt的合适的模型如下：
xt t 1t1 2t2 qtq
其中： (1)εt为白噪声过程
(2)q 0
那么就称xt满足q阶移动平均过程，记作MA(q)
使用滞后算子，MA(q)模型可以写成：
第四章 线性平稳时间序列模型
Contents
§3.1 线性平稳时间序列模型的种类
§3.2 ARMA(p,q)模型的平稳性 和可逆性
§3.3 ARMA模型的传递形式 和逆转形式
第一节 线性平稳时间序列模型的种类
一、自回归模型 二、移动平均模型 三、自回归移动平均模型 四、求和自回归移动平均模型
第二节 ARMA(p,q)模型的平稳性和可逆性
一、时间序列模型的平稳性 二、时间序列模型的可逆性 三、AR模型的平稳性条件 四、MA模型的可逆性条件 五、ARMA模型的平稳性条件和可逆性条件
一、时间序列模型的平稳性(Stationarity)
如果一个时间序列模型可以写成如下形式：
思考：若建立AR(2)模型以后，上述假设不符合，说明了 什么问题？
AR(2)模型可写成如下的等价形式
xt 1xt1 2 xt2 t
(1 1B 2B2 )xt t
通过等价形式可以看出，AR(2)模型通过将xt中依赖于 xt-1、xt-2的部分剔除掉，而使数据转化成了独立数据εt。