第二讲 命题、量词、逻辑联结词一．明确考试大纲1. 理解命题的概念.2. 理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.3. 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,知道复合命题与构成它的简单命题的真假关系.二．知识点梳理1．命题的概念:2．全称量词与存在量词（1）全称量词与全称命题①短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ”表示. ②含有 的命题,叫做全称命题.③全称命题“对 A 中任意一个x ,有P (x )成立”可用符号简记为: ,读作“对任意x 属于A ,有P (x )成立”.（2）存在量词与特称命题①短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ”表示. ②含有 的命题,叫做特称命题.③特称命题“存在 A 中的一个x 0,使P (x 0)成立”可用符号简记为: ,读作“存在一个x 0属于A ,使P (x 0)成立”.（3）含有一个量词的命题的否定命题:∀x ∈A ,P (x ),命题的否定:_______________________.命题:∃x 0∈A ,P (x 0),命题的否定: _______________________.3．逻辑联结词、简单命题与复合命题（1）“ ”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是 命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是 命题.（2）构成复合命题的形式:p 或q (记作“ ”);p 且q (记作“ ”);非p (记作“ ”).（3）“或”、 “且”、 “非”的真值判断①“非p ”形式复合命题的真假与p 的真假相反;②“p 且q ”形式复合命题当p 与q 同为真时为真,其他情况时为假;③“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真.基础检测1.下列关系式中不正确的是 ( )（A ）0∉∅ （B ）{}0∉∅ （C ）{}∅∈∅ （D ）{}00⊆2.已知命题2:0p a ≥ (a ∈R),命题2q:>0a (a ∈R),下列命题为真命题的是 ( )(A)p ∨q . (B)p ∧q . (C)(⌝p )∧(⌝q ). (D)(⌝p )∨q .3.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是 ( )(A)①和②. (B)②和③. (C)③和④. (D)②和④.4. 命题“有些负数满足不等式(1+x )(1-9x 2)>0”用符号“∃”写成特称命题为三．典例分析题型1 对“或”“且”“非”的理解例1 写出下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“⌝p ”形式的复合命题,并判断这些复合命题的真假:(1)p :平行四边形的对角线相等;q :平行四边形的对角线互相垂直;(2)p :方程x 2+x -1=0的两实根符号相同;q :方程x 2+x -1=0的两实根的绝对值相等.变式训练1 (1)命题p :所有有理数都是实数,命题q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是 (A)(⌝p )∨q . (B)p ∧q . (C)(⌝p )∧(⌝q ). (D)(⌝p )∨(⌝q ).(2)已知命题p :∃x ∈R,使tan x =1,命题q :x 2-3x +2<0的解集是{x |1<x <2},下列结论:①命题“p ∧q ”是真命题;②命题“p ∧(⌝q )”是假命题;③命题“(⌝p )∨q ”是真命题;④命题“(⌝p )∨(⌝q )”是假命题.正确的是 ( )(A)②③. (B)①②④. (C)①③④. (D)①②③④.题型2 全(特)称命题及真假判断例2 判断下列命题是否是全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.(1)有一个实数a , sin 2a +cos 2a ≠1;(2)任何一条直线都存在斜率;(3)所有的实数a ,b ,方程ax +b =0恰有唯一解;(4)存在实数x ,使得2+2+3=0x x变式训练2 判断下列命题的真假:(1)每个指数函数都是单调函数;(2)任何实数都有算术平方根;(3)任意x ∈{x |x 是无理数},x 2是无理数;(4)存在x ∈R,x 3≤0.题型3 全(特)称命题的否定例3 写出下列命题的否定并判断其真假:(1)p :不论m 取何实数,方程x 2+mx -1=0必有实数根;(2)p :有的三角形的三条边相等;(3)p :菱形的对角线互相垂直;(4)p :∃x ∈N,使得x 2-2x +1≤0.【总结】常见词语的否定形式有:变式训练3 写出下列命题的否定形式:(1)有些三角形的三个内角都等于60°;(2)能够被3整除的整数,能够被6整除;(3)∃θ∈R,使得函数y =sin(2x +θ)是偶函数;(4)∀x ,y ∈R,|x +1|+|y -1|>0.题型4 与逻辑联结词、全(特)称命题有关的参数问题例4 已知r (x ):sin x +cos x >m ,s (x ):x 2+mx +1>0.如果对∀x ∈R,r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题,求实数m 的取值范围.变式训练4 已知p : “∀x ∈[1, 2],x 2-a ≥0”,q :“∃x ∈R,x 2+2ax +2-a =0”,若命题“p 且q ”是真命题,求实数a 的取值范围.第三讲 充要条件一．明确考试大纲1. 了解“若p ,则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.二．知识点梳理1．四种命题及其关系（1）四种命题原命题:______________________________ 逆命题: ______________________________否命题: ______________________________ 逆否命题: ______________________________（2）四种命题的相互关系一个命题和它的 是等价的.（3）当判断一个命题的真假有困难时,可转化为其等价命题(如逆否命题)来判断真假,在四个命题中,真命题的个数只能为 .（4）当一个命题有大前提,而要求写出其他三个命题时,应保留大前提,大前提不能变动.（5）“否命题”与“命题的否定”的区别:否命题是对原命题“若p 则q ”的条件和结论都否定,即“_____________________ ”;而原命题“若p 则q ”的否定是:“______________________”,即只否定原命题的结论.2．充要条件（1）若p ⇒q ,则称p 是q 的 ,或称q 是p 的 .（2）若q ⇒p ,则称p 是q 的 ,或称q 是p 的 .（3）3.若p ⇔q ,则称p 是q 的 .基础检测1．">2"x 是11"<"2x 的 （ ）(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.2.“m <14”是“一元二次方程2++=0x x m 有实数解”的 ( ) (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.3.如果x ,y 是实数,那么“|x +y |=|x |+|y |”是“xy >0”的 ( )(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.4.下列命题:①若ac 2>bc 2,则a >b ;②若sin α=sin β,则α=β;③“a =0”是“直线x -2ay =1和直线2x -2ay =1平行”的充要条件;④若f (x )=log 2x ,则f (|x |)是偶函数.其中所有正确命题的序号是 .三．典例分析题型1 四种命题的关系及真假判断例1以下关于命题的说法正确的有 ( )①“若log2a>0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.(A)①②④. (B)②④. (C)②③④. (D)①②③④.变式训练1 命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是 ( )(A)若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数.(B)若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.(C)若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数.(D)若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数.题型2 充分条件与必要条件的判断例2 a、b为非零向量,“a⊥b”是“函数f(x)=(x a+b)·(x b-a)为一次函数”的 ( )(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.变式训练2给出下列命题:①“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n+1}为等比数列”的充分不必要条件;②“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;③“m=3”是“直线(m+3)x+my-2=0与直线mx-6y+5=0互相垂直”的充要条件;④设a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b= ,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件. 其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).题型3 充分条件、必要条件的应用例3 已知命题2:-5-60p x x ≤,命题22:-2+1-40(>0)q x x a a ≤,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.变式训练3 已知-1:1-23x p ≤,22:-2+1-0(m>0)q x x m ≤,若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围.【技巧归纳】1.判断逻辑关系的关键是分清条件和结论.2.判断“p 是q 的什么条件”的本质是判断命题“若p ,则q ”及“若q ,则p ”的真假.3.逻辑关系的判定有四种方法:①定义法:若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件;若p ⇔q ,则p 是q 的充要条件.②利用原命题和逆否命题的等价性来确定.p ⇒q 等价于q ⇒p .③利用集合的包含关系:记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ,若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件;。