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高一数学_等比数列综合练习_精心整理_含答案版本

考点1等比数列的通项与前n 项和 题型1已知等比数列的某些项,求某项【例1】已知{}n a 为等比数列,162,262==a a ,则=10a【解题思路】可以考虑基本量法,或利用等比数列的性质【解析】方法1: 811622451612=⇒⎩⎨⎧====q q a a q a a ∴1312281162469110=⨯===q a q a a方法2: 812162264===a a q,∴13122811624610=⨯==q a a 方法3:{}n a 为等比数列∴13122216222261026102===⇒=⋅a a a a a a【名师指引】给项求项问题,先考虑利用等比数列的性质,再考虑基本量法.题型2 已知前n 项和n S 及其某项,求项数.【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和,93=nS ,48=n a ,公比2=q ,则项数=n .⑵已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数. 【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式11-=n nqa a 及qq a S n n --=1)1(1求出1a 及q ,代入n S 可求项数n ;⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知,可求这四个数.【解析】⑴由93=n S ,48=n a ,公比2=q ,得532248293)12(111=⇒=⇒⎩⎨⎧=⋅=--n a a nn n . ⑵方法1:设这四个数分别为d c b a ,,,,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=363722c b b a bd c c a b ;方法2:设前2个数分别为b a ,,则第43、个数分别为a b --3736,,则 ⎩⎨⎧-=-+-=)37()36()36(22a b b a b b ,解得⎩⎨⎧==1612b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==481499b a ; 方法3:设第32、个数分别为c b ,,则第1个数为c b -2,第1个数为bc 2,则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-20163622c b c b b c c b 或⎪⎩⎪⎨⎧==463481c b ; 方法4:设第32、个数分别为c b ,,设第4,1个数分别为ca c c a ++22,2;方法5:设第43、个数分别为d c ,,则设第2,1个数分别为c d --36,37,则⎩⎨⎧===⇒⎩⎨⎧-=+-=-251620)36()37()36(22d c c d c c d c 或.449,463==d c 【名师指引】平时解题时,应注意多方位、多角度思考问题,加强一题多解的练习,这对提高我们的解题能力大有裨益.题型3 求等比数列前n 项和【例3】等比数列 ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和. 【解题思路】可以先求出10S ,再求出4S ,利用410S S -求解;也可以先求出5a 及10a ,由10765,,,,a a a a 成等比数列求解.【解析】由2,121==a a ,得2=q ,∴102321)21(11010=--=S ,1521)21(144=--=S ,∴.1008410=-S S 【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和,13233331-+++++=n na ,求n S【解题思路】可以先求出n a ,再根据n a 的形式特点求解.【解析】 212331)31(133331132-=--=+++++=-n n n na ,∴n n S n nn 2131)31(32121)3333(2132---⨯=-++++= 即.432143--=n S n n 【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和,n n n a 3)12(⋅-=,求n S .【解题思路】分析数列通项形式特点,结合等比数列前n 项和公式的推导,采用错位相减法求和. 【解析】 n nn a 3)12(⋅-=∴n n n S 3)12(35333132⋅-++⋅+⋅+⋅= ,----------------①14323)12(3)32(3533313+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n nn n S -------------②①—②,得14323)12()3333(232+⋅--+++++=-n n n n S63)22(3)12(31)31(923111-⋅-=⋅----⨯+=++-n n n n n∴.33)1(1+⋅-=+n n n S【名师指引】根据数列通项的形式特点,等比数列求和的常用方法有:公式法、性质法、分解重组法、错位相减法,即数列求和从“通项”入手.【新题导练】 1.已知{}n a 为等比数列,6,3876321=++=++a a a a a a ,求131211a a a ++的值.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,6,3876321=++=++a a a a a a ,∴23216545=++++=a a a a a a q ,∴131211a a a ++;2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列,则这个等比数列的公比为 .【解析】设这个常数为x ,则x x x +++100,50,20成等比数列,∴)100)(20()50(2x x x ++=+,解得45=x ,∴17418520545204550==++=q . 3.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,364,243,362===n S a a ,则=n ;【解析】3,12433151612==⎩⎨⎧⇒====q a q a a q a a 或3,11-=-=q a , 当3,11==q a 时,636431)31(1=⇒=--=n S n n ; 当3,11-=-=q a 时,[]n S nn ⇒=+---=36431)3(11无整数解. 4.已知等比数列{}n a 中,21a =,则其前3项的和3S 的取值范围是 .【解析】∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当公比0q>时,31113S q q =++≥+=; 当公比0q<时,31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭, ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和,0>n a ,80=nS ,65602=n S ,前n 项中的数值最大的项为54,求100S .【解析】由0>na ,80=n S ,65602=n S ,知1≠q ,∴.65601)1(,801)1(2121=--==--=qq a S q q a S n n n n∴81821122=⇒=--=n n nn n q q q S S ,∴1>q ,又 前n 项中的数值最大的项为: 5411==-n n q a a ,∴321=q a ,∴.133,21001001-=⇒==S q a 考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足:λ=1a ,4321-+=+n a a n n ,)213()1(+--=n a b n n n ,其中λ为实数,+∈N n . ⑴ 对任意实数λ,证明数列{}n a 不是等比数列;⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论.【解题思路】⑴证明数列{}n a 不是等比数列,只需举一个反例;⑵证明数列{}n b 是等比数列,常用:①定义法;②中项法.【解析】⑴ 证明:假设存在一个实数λ,使{}n a 是等比数列,则有3122a a a ⋅=,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以{}n a 不是等比数列.⑵ 解:因为[]21)1(3)1()213()1(11++--=+--=++n a n a b n n n n n[])14232()1(183)1(111+--=+--=+++n a n a n n n nn n n b n a 32)213()1(321-=+--=+又)18(11+-=λb ,所以当)(0,18+∈=-=N n b n λ,此时{}n b 不是等比数列; 当)8(,181+-=-≠λλb 时,由上可知)(32,01++∈-=∴≠N n b b b n n n ,此时{}n b 是等比数列.【名师指引】等比数列的判定方法: ⑴定义法:q a a nn =+1(+∈N n ,0≠q 是常数)⇔{}n a 是等比数列; ⑵中项法:221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.【新题导练】6.已知数列{}n a 的首项123a =,121n n n a a a +=+,1,2,3,n =….证明:数列1{1}n a -是等比数列;【解析】 121n n n a a a +=+,∴ 111111222n n n na a a a ++==+⋅,∴11111(1)2n n a a +-=-,又123a =,∴11112a -=, ∴数列1{1}n a -是以12为首项,12为公比的等比数列.考点3 等比数列的性质【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和,54=nS ,602=n S ,则=n S 3 .【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前n 项和的性质求解. 【解析】{}n a 是等比数列,∴n n n n n S S S S S 232,,--为等比数列,∴318236)60(5433=⇒=-n n S S .【名师指引】给项求项问题,先考虑利用等比数列的性质,再考虑基本量法.【新题导练】 7.已知等比数列{}n a 中,36)2(,04624=++>a a a a a n ,则=+53a a .【解析】{}n a 是等比数列,0>n a∴⇒=+⇒=++36)(36)2(2534624a a a a a a 653=+a a .考点4 等比数列与其它知识的综合【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知()21n n n ba b S -=-⑴证明:当2b =时,{}12n na n --⋅是等比数列;⑵求{}n a 的通项公式【解题思路】由递推公式{}0,,=n a S n n 求数列的通项公式)(n f a n=,主要利用:⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn ,同时注意分类讨论思想.【解析】由题意知12a =,且 ()21n n n ba b S -=-,()11121n n n ba b S +++-=-两式相减,得()()1121n n n n ba ab a ++--=-,即 12n n n a ba +=+ ①⑴当2b =时,由①知 122n n n a a +=+于是 ()()1122212n n n n n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠,所以{}12n n a n --⋅是首项为1,公比为2=q 的等比数列。

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