绝密★启封前2019江苏省高考压轴卷数 学数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U ＝，，，，，集合134{}}35{A B ＝，，，＝，，则U A B ⋂（）ð═ ． 2．已知i 是虚数单位，若12i a i a R +∈（﹣)(）＝，，则a ＝ ． 3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y 的取值范围是 ．5．已知函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f （m ）＝﹣6，则f （m ﹣61）＝ ． 6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x ）＝x ，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且23AB ＝，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+（﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x （f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值；（2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ．（1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）的离心率为22，短轴长为22． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为23，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值； （3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）；（Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点B 作BD CD ⊥于点D . 求证：2BC BA BD =⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{2x ty t==--（t 为参数）．在极坐标系中（与直注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。
本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号。
3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为42cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长． D ．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z 、、，满足3x y z xyz ++=，求xy yz xz ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分） 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2．（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值． （2）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）在集合{A =1，2，3，4，…，2n }中，任取m （m n ≤，m ，n ∈N *）元素构成集合m A ．若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；若m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m ．令()()()F m f m g m =-．（1）当2n =时，求(1)F ，(2)F ，的值； （2）求()F m ．2019 江苏省高考压轴卷 数学1．【答案】{1，2，4，5} 【解析】解：A ∩B ＝{3}， 则∁U （A ∩B ）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}， 2．【答案】1．【解析】解：∵（1﹣i ）（a +i ）＝（a +1）+（1﹣a ）i ＝2， ∴1210a a +=⎧⎨-=⎩，即a ＝1．故答案为：1． 3．【答案】60．【解析】解：由题意可知，抽样比为500181009000540045=++．故北乡应抽8100×145＝180，南乡应抽5400×145＝120， 所以180﹣120＝60， 即北乡比南乡多抽60人， 故答案为：604．【答案】[2231]﹣，． 【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量123030x x x y xx ⎧+->⎪=⎨⎪≤⎩的值， 由于当x ＞0时，123y x x+≥＝﹣223﹣， 当x ≤0时，y ＝3x∈（0，1]，则输出y 的取值范围是[2231]﹣，． 故答案为：[2231]﹣，． 5．【答案】-4．【解析】解：∵函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，f （m ）＝﹣6，∴当m ＜3时，f （m ）＝3m ﹣2﹣5＝﹣6，无解；当m ≥3时，f （m ）＝﹣log 2（m +1）＝﹣6， 解得m ＝63，∴f （m ﹣61）＝f （2）＝32﹣2﹣5＝﹣4．故答案为：﹣4． 6．【答案】34． 【解析】解：∵f （x ）＝sin （x ﹣1），p ∈{1，3，5，7}，f （1）＝sin0＝0， f （3）＝sin2＞0， f （5）＝sin4＜0， f （7）＝sin6＜0，∴f （p ）≤0的概率为p ＝34． 故答案为：34． 7．【答案】1．【解析】解：根据函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象，可得12521212πππω⋅=+，∴ω＝2， 再根据五点法作图可得2012πφ⋅+=，求得6πφ=-，∴函数f （x ）＝2sin （26x π-），∴f （76π）＝2sin （736ππ-）＝2sin 136π＝2sin 6π＝1， 故答案为：1．8．【答案】x 2+（y ﹣3）2＝10． 【解析】解：P （3，4）为C 上的一点， 所以91612m -＝，解得m ＝1， 所以A （﹣1，0）B （1，0）， 设△PAB 的外接圆的圆心（0，b ）， 则1+b 2＝32+（b ﹣4）2，解得b ＝3，则△PAB 的外接圆的标准方程为x 2+（y ﹣3）2＝10． 故答案为：x 2+（y ﹣3）2＝10．9．【答案】{x |﹣3≤x ≤1或0≤x ≤1712-或﹣7172+≤x ≤﹣4}． 【解析】解：根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |， 此时若有f （x ）≤2，即20|3|2x x x ≥⎧⎨-≤⎩，解可得0≤x ≤1或2≤x ≤3172+，即此时f （x ）≤2的解集为{x |0≤x ≤1或2≤x ≤3172+}， 又由f （x ）为偶函数，则当x ≤0时，f （x ）≤2的解集为{x |﹣1≤x ≤0或﹣3172+≤x ≤﹣2}，综合可得：f （x ）≤2的解集为{x |﹣1≤x ≤1或2≤x ≤3172+或﹣3172+≤x ≤﹣2}； 则不等式f （x ﹣2）≤2的解集{x |﹣3≤x ≤1或0≤x ≤1712-或﹣7172+≤x ≤﹣4}； 故答案为：{x |﹣3≤x ≤1或0≤x ≤1712-或﹣7172+≤x ≤﹣4}． 10．【答案】2e． 【解析】解：函数f （x ）＝alnx 的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝ax ，g ′（x ）＝12x， 设曲线f （x ）＝alnx 与曲线g （x ）＝x 公共点为（x 0，y 0）， 由于在公共点处有共同的切线，∴0012a x x =，解得204x a =，a ＞0． 由f （x 0）＝g （x 0），可得00alnx x ＝．联立20004x a alnx x ⎧=⎪⎨⎪⎩＝，解得2e a =．故答案为：2e．11．【答案】5．【解析】解：取AB 的中点M ，连OM ，则OM ⊥AB ，∴22|OM ||OA ||BM |431=-=-=，即点M 的轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆．∴|PA PB |2||PM +=，设点O 到直线3x +4y ﹣15＝0的距离为153916d ==+，所以2|PM |≥2d ﹣1＝6﹣1＝5（当且仅当OP ⊥l ，M 为线段OP 与圆x 2+y 2＝1的交点时取等） 故答案为：5．12．【答案】4． 【解析】解：由题意得1211232323acsin asin csin πππ+＝， 即ac ＝a +c ， 得+＝1，得a +c ＝（a +c ）（1a +1c）＝222224c a c a a c a c ++≥+⋅=+=， 当且仅当a ＝c 时，取等号， 故答案为：413．【答案】13342n n+--．【解析】解：点D 为△ABC 的边BC 上一点，2,2()n n n n BD DC E D E B E C E D =-=- ∴3122n n n E C E D E B =-又322n n n n E A E C E D E B λλλ==-， 1141345n n a a +-=-⨯-，∴134541n n a a +--=-，14434414141n n n n a a a a +--=-=--，11141131,441111n n n n n n n a a a a a a a ++---===+----，，∴11123(2)11n n a a ++=+--， ∴1123,3 2.11n n n n a a +==---，13(13)3342132n n n n S n +⨯---=-=-．故答案为：13342n n+--．14．已知函数f （x ）＝，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ． 【答案】34．【解析】解：∵x ＝0∈A ，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可． 画出f （x ）的图象如下图：当x ＞0时，f （x ）≥m ；当x ＜0时，m ≥f （x ）．即y 轴左侧的图象在y ＝m 下面，y 轴右侧的图象在y ＝m 上面， ∵f （3）＝﹣3×9+18＝﹣9，f （4）＝﹣3×16+24＝﹣24，f （﹣3）＝﹣（﹣3）3﹣3×（﹣3）2+4＝4， f （﹣4）＝﹣（﹣4）3﹣3×（﹣4）2+4＝20，平移y ＝a ，由图可知：当﹣24＜a ≤﹣9时，A ＝{1，2，3}，符合题意；a ＝0时，A ＝{﹣1，1，2}，符合题意；2≤a≤3时，A＝{1，﹣1，﹣2}，符合题意；4≤a＜20时，A＝{﹣1，﹣2，﹣3}，符合题意；∴整数m的值为﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17，﹣16，﹣15，﹣14，﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．故答案为：34．15．【答案】见解析.【解析】证明：（1）连结A1B，交AB1于N，则N是A1B的中点，∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BC中点，∴MN∥A1C，∵A1C⊄平面AB1M，MN⊂平面AB1M，∴A1C∥平面AB1M．解：（2）过B作BP⊥B1M，垂足为P，平面AB1M⊥平面B1BCC1，且交线为B1M，BP⊂平面AB1M，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，又BP∩BB1＝B，∴AM⊥平面BB1C1C，又BC⊂平面BB1C1C，∴AM⊥BC．16．【答案】（1）8349．（2）714． 【解析】解：（1）∵已知12(,),(0,cos(),2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=),， ∴2431cos 7sinαβαβ-=（﹣）＝（﹣）， ∴8322249sinsin cos αβαβαβ（﹣）＝（﹣）（﹣）＝． （2）[]2cos cos cos cos sin sin ααβαβαβαβαβαβ++++＝（）（﹣）＝（）（﹣）-（）（﹣2113431321272714cos α-⋅-⋅=-=﹣， 求得714cos α＝，或714cos α＝-（舍去），综上，714cos α＝． 17．【答案】（1）S ＝12a 2tan θ，θ∈（0，2π）；22(s i n )(s i n c o s 1)a T θθθ=+，θ∈（0，2π）；（2）49． 【解析】解：（1）由题意知，AC ＝a tan θ， 所以△ABC 的面积为：S ＝12AC •BC ＝12a 2tan θ，其中θ∈（0，2π）； 又DG ＝GF ＝BG sin θ＝cos cos CG a BGθθ-=， 所以BG ＝sin cos 1aθθ=+，DG sin sin cos 1a θθθ=+，所以正方形DEFG 的面积为：2T DG ＝=22(sin )(sin cos 1)a θθθ+，其中θ∈（0，2π）； （2）由题意知22sin cos (sin cos 1)f θθθθθ+（）＝，其中θ∈（0，2π）， 所以21sin cos 2sin cos f θθθθθ++（）＝；由sin θcos θ＝12sin2θ∈（0，12]，所以15sin cos sin cos 2θθθθ+≥，即f （θ）≤49，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝4π时“＝”成立；所以f （θ）的最大值P 为49．18.【答案】（Ⅰ）22142x y +＝；（Ⅱ）22k =±.【解析】解：（Ⅰ）由题意可得22222222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ＝2，b ＝2，c ＝2，∴椭圆C 的方程为22142x y +＝. （Ⅱ）易知椭圆左顶点A （﹣2，0），设直线l 的方程为y ＝k （x +2），则E （0，2k ），H （0，﹣2k ），由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨⎪⎩+＝消y 可得（1+2k 2）x 2+8k 2x +8k 2﹣4＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）， ∴△＝64k 4﹣4（8k 2﹣4）（1+2k 2）＝16则有x 1+x 2＝22812k k -+，x 1x 2＝228412k k -+，∴x 0＝12（x 1+x 2）＝﹣22412k k +，y 0＝k （x 0+2）＝2212kk+， ∴0012OP y k x k=-＝， ∴直线EM 的斜率k EM ＝2k ，∴直线EM 的方程为y ＝2kx +2k ，直线AH 的方程为y ＝﹣k （x +2）， ∴点M （43-，23k ）， ∴点M 到直线l ：kx ﹣y +2k ＝0的距离24||31k d k +＝，∴2221212241|AB |1(x x )4x x 12k k k +=+⋅+-+＝，∴22121212k AP AB k++＝＝， ∴222244|k ||k |1121233•22121231APM k S AP d k k k∆+⋅⋅==+++＝＝， 解得22k =±. 19.【答案】（1）()f x 的极大值为()512f =-；极小值为()22ln24f =-；（2）02x =；（3）见解析【解析】（1） 当3a =时，函数()212ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，. 则()22x 3x 2f x x 3x x-+=+-='，令()f x 0'=得，1x =或2x =．列表：x()01，1()12，2()2+∞，()f x '+0 -+()f x↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗所以函数的极大值为()512f =-；极小值为()22ln24f =-． （2）依题意，切线方程为()()()0000y f x x x f x (x 0)=-+>'， 从而()()()0000g(x)f x x x f x (x 0)+'=->， 记()()()p x f x g x =-，则()()()()()000p x f x f x f x x x =---'在()0+∞，上为单调增函数， 所以()()()0p x f x f x 0=-''≥'在()0+∞，上恒成立， 即()0022p x x x 0x x +-'=-≥在()0+∞，上恒成立． 变形得0022x x x x +≥+在()0+∞，上恒成立 ， 因为22x 2x 22x x+≥⋅=（当且仅当2x =时，等号成立）， 所以00222x x ≥+，从而()20x 20-≤，所以02x =．（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点()111T x y ，，()222T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：()()()111y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：()()()222y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以()()()()()()12111222f x f x {x x f x x x f x .f f ''''=-=-，即121222111111222221222x x x x { 12122x x x x x a2x x x x x a .2x 2x a a ln a ln a +-=+-⎛⎫⎛⎫+--+-=+--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，12221122x x 2{ 112x x 2x x .22ln ln =-=-，消去2x 得，221121x x 22ln02x 2+-=．令21x t 2=，由120x x <<与12x x 2=，得()01t ∈，，记()1p t 2lnt t t =+-，则()()222t 121p t 10t t t -=--=-<'， 所以()p t 为()01，上的单调减函数，所以()()p t p 10>=． 从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点．20．【答案】（Ⅰ）l （P ）＝5． l （Q ）＝6；（Ⅱ）证明见解析； （Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n ﹣3．【解析】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4＝6，2+6＝8，2+8＝10，4+6＝10，4+8＝12，6+8＝14，得l （P ）＝5．由2+4＝6，2+8＝10，2+16＝18，4+8＝12，4+16＝20，8+16＝24，得l （Q ）＝6．（5分） （Ⅱ）证明：因为a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）最多有2(1)2n n n C -=个值，所以(1)()2n n l A -≤． 又集合A ＝2，4，8，，2n，任取a i +a j ，a k +a l （1≤i ＜j ≤n ，1≤k ＜l ≤n ）， 当j ≠l 时，不妨设j ＜l ，则a i +a j ＜2a j ＝2j +1≤a l ＜a k +a l ， 即a i +a j ≠a k +a l ．当j ＝l ，i ≠k 时，a i +a j ≠a k +a l ． 因此，当且仅当i ＝k ，j ＝l 时，a i +a j ＝a k +a l ． 即所有a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）的值两两不同， 所以(1)()2n n l A -=．（9分） （Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n ﹣3．不妨设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，可得a 1+a 2＜a 1+a 3＜…＜a 1+a n ＜a 2+a n ＜…＜a n ﹣1+a n ， 所以a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中至少有2n ﹣3个不同的数，即l （A ）≥2n ﹣3． 事实上，设a 1，a 2，a 3，，a n 成等差数列， 考虑a i +a j （1≤i ＜j ≤n ），根据等差数列的性质， 当i +j ≤n 时，a i +a j ＝a 1+a i +j ﹣1； 当i +j ＞n 时，a i +a j ＝a i +j ﹣n +a n ；因此每个和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）等于a 1+a k （2≤k ≤n ）中的一个， 或者等于a l +a n （2≤l ≤n ﹣1）中的一个．所以对这样的A ，l （A ）＝2n ﹣3，所以l （A ）的最小值为2n ﹣3． 21．A ．选修4—1：几何证明选讲 【答案】证明见解析. 【解析】证明：因为CD 为圆的切线，弧所对的圆周角为BAC ∠，所以 BCD BAC ∠=∠． ① 又因为为半圆的直径，所以90ACB ∠=︒．又BD ⊥CD ，所以90CDB ACB ∠=︒=∠． ② 由①②得ABC CBD ∆∆∽， 所以2AB BCBC BA BD BC BD=⇒=⋅． B ．选修4—2：矩阵与变换 【答案】40=01M ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则40102MN ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 因为10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则110=02N -⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 所以矩阵401040=1020102M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. C ．选修4—4：坐标系与参数方程 【答案】1255【解析】将直线l 的参数方程为2{ 2x t y t ==--化为方程：240x y ++= 圆的方程为42cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为直角坐标系方程：()24cos sin ρρθθ=-， 即22440x y x y +-+=，()()22228x y -++=，其圆心()2,2-，半径为22 ∴圆心C 到直线l 的距离为244255d -+==∴直线l 被圆C 截得的弦长为()22212522255⎛⎫-= ⎪⎝⎭． D ．选修4—5：不等式选讲 【答案】3 【解析】因3x y z xyz ++=，所以1113xy yz xz++=， 又2111()()(111)9xy yz xz xy yz xz++++≥++=， 3xyyz xz ++≥，当且仅当1x y z ===时取等号，所以xy yz xz ++的最小值为3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解析应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22.【答案】（1）55；（2）55． 【解析】解：（1）因为AD ∥BC ，所以∠DAP 或其补角就是异面直线AP 与BC 所成的角， 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD ， 在Rt △PDA 中，225AP AD PD =+=，故cos ∠DAP ＝55AD AP =， 所以，异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55．（2）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．∵AD ⊥PD ，AD ∥BC ，∴PD ⊥BC ， 又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ， ∴PD ⊥平面PBC ，∴∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1，由已知，得CF ＝BC ﹣BF ＝2． 又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF 中，可得2225DF DC CF =+=．在Rt △DPF 中，sin ∠DFP ＝55PD DF =． 所以，直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55． 23. 【答案】（1）0，-2；（2）22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．．【解析】（1）当2n =时，集合为{1,2,3,4}．当1m =时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，(1)2f =，(1)2g =，(1)0F =； 当2m =时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}，(2)2f =，(2)4g =，(2)2F =-；（2）当m 为奇数时，偶子集的个数0224411()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m ---=++++，奇子集的个数1133()C C C C C C m m m n nn n n n g m --=+++，所以()()f m g m =，()()()0F m f m g m =-=．当m 为偶数时，偶子集的个数022440()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m --=++++，奇子集的个数113311()C C C C C C m m m n nn n n n g m ---=+++，所以()()()F m f m g m =-0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n ----=-+-+-+．一方面，1220122(1)(1)(C C C C )[C C C (1)C ]n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x +-=++++-+-+-，所以(1)(1)n n x x +-中m x 的系数为0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n n n n n n -----+-+-+； 另一方面，2(1)(1)(1)n n n x x x +-=-，2(1)n x -中m x 的系数为22(1)C m m n-， 故()F m =22(1)C m mn -． 综上，22(1)C ,()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．。