信号与系统下半年作业1一、判断题：1．拉普拉斯变换满足线性性。

√2．拉普拉斯变换是连续时间系统进行分析的一种方法。

√ 3．冲击信号的拉氏变换结果是一个常数。

√ 4．单位阶跃响应的拉氏变换称为传递函数。

× 二、填空题1．如果一个系统的幅频响应是常数，那么这个系统就称为 全通系统 。

2．单位冲击信号的拉氏变换结果是 ( 1 ) 。

3．单位阶跃信号的拉氏变换结果是 (1 / s) 。

4．系统的频率响应和系统的传递函数之间的关系是把传递函数中的s 因子用ωj 代替后的数学表达式。

5．从数学定义式上可以看出，当双边拉氏变换的因子s=j ω时，双边拉氏变换的就变成了傅立叶变换的定义式，所以双边拉氏变换又称为 广义傅立叶变换 。

6、单边拉普拉斯变换(LT)的定义式是:⎰∞-=0)()(dt e t f s F st . 7、双边拉普拉斯变换(LT)的定义式是:⎰∞∞--=dt e t f s F st )()(.三、计算题 1. 求出以下传递函数的原函数 1）F （s ）=1/s 解：)()(t u t f = 2）F(s)=11+s 解：f (t)=)(t u e t-3）F(s)=)1(12-s s解：F(s)=)1(12-s s =)1)(1(1+-s s s =15.0-+s 15.0++s -s1f (t)= +-)(5.0t u et-)(5.0t u e t )(t u2．根据定义求取单位冲击函数和单位阶跃函数的拉氏变换。

L [)](t δ=⎰+∞∞--dt e t st )(δ=1L [u (t)]=⎰+∞∞--dt e t u st)(=⎰+∞-0dt e st=s 1 3、已知信号)(t f 是因果信号其拉氏变换为F （s ）=21s ，试求)0(f =？ 答案：0lim)(lim )(lim )0(2==⋅==∞→∞→→s ss F s t f f s s t5、已知信号)(t f 是因果信号其拉氏变换为F （s ）=)100010()10)(2(2++++s s s s s ，试求)(∞f =？答案：由终值定理02.0)100010()10)(2(lim )(lim )(2=++++==∞→→s s s s s ss sF f s s5、求)()(3t u t t f =的拉氏变换 答案：46)]([s t f L =(Re(s) > 0)一、判断题（1）如果x(n)是偶对称序列，则X(z)=X(z -1)。

√ （2）时不变系统的响应与激励施加的时刻有关。

× （3）nx(n)的Z 变换结果是-zX(z)。

× （4）单位阶跃序列的Z 变换结果是常数 ×二、填空题1．对于理想的低通滤波器，所有高于截止频率的频率分量都将 不能 通过系统，而低于截止频率的频率分量都将 能够 的通过系统。

2．称X(n)与X （z ）是一对 ZT 变换对 。

3离散时间系统是指输入、输出都是 序列 的系统。

4．在没有激励的情况下，系统的响应称为 零输入响应 。

5．离散系统的传递函数定义式是： H （z ）=Y(z) / X(z) 。

6。

系统的零状态响应等于激励与 其单位冲激响应之间的卷积 。

信号与系统下半年作业21、 已知序列()f k 的()F z 如下，求初值(0)f , (1)f 及终值()f ∞。

221(1) (), 11(1)()2(2) (), 2(2)(1)z z F z z z z z F z z z z ++=>-+=>-- 解21(1) (0)lim 11(1)()2z z z f z z →∞++==-+33()322(1)lim [()(0)]lim12(1)()2z z z z f z F z f z z →∞→∞+=-==-+2111()lim(1)()lim 212z z z z f z F z z →→++∞=-==+2(2) (0)lim 1(2)(1)z z f z z →∞==--(32)(1)lim [()(0)]lim3(2)(1)z z z z f z F z f z z →∞→∞-=-==--()2F z z >因为的收敛域，不满足应用终值定理的条件，故终值不存在。

2、试用z 变换的性质求下列序列的z 变换()F z 。

(1) 1()[1(1)]()2k f k U k =--(2) ()()(6)f k U k U k =--(3)()(1)()kf k k U k =- (4) ()(1)()f k k k U k =+(5)()cos()2f k kU k π=(6) 1()()cos()()22k f k k U k π=解(1)211()21211z z z F z z z z =⨯-⨯=-+-(2)56()111z z z z F z z z z z ---=-=--- (3)2d ()[]d 1(1)z zF z zz z z -=-=++(4) ()()()f k k kU k kU k =⨯+222323d ()[]d (1)(1)(1) (1)(1)(1)z z F z zz z z z z z z z z z =-+--+=+=---故(5) 221()[]()2j kj k f k e e U k ππ-=+故22221()[]21jjz z z F z z z ez eππ=+=+-+(6) 由尺度变换性质得12222124()41()1zz F z zz ==++3、求下列各像函数)(s F 的原函数)(t f 。

(1) ()()()()()4231++++=s s s s s s F (2) ()()()126516222++++=s s s s s F(3) ()2399222++++=s s s s s F (4) ()()s s s s s F 2323++= (5) ()8666223++++=s s s s s s F (6) ()()2211+=s s s F(7) ()()()41221+-+=--s e s F s (8) ()()se s s F --=11 (9) ()21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-s e s F s 解：(1)42)(321++++=s K s K s K s F83)4)(2()3)(1(01=⨯++++==s s s s s s s K41)2()4)(2()3)(1(22=+++++=-=s s s s s s s K83)4()4)(2()3)(1(43=+++++=-=s s s s s s s K48324183)(++++=s s s s F )()834183()(42*t U e e t f t t -++=(2)1245152393425121232)(321+++-++=+++++=s s s s K s K s K s F )()45152934512()(1232t U e e e t f tt t ---+-=(3)21122)2)(1(532)(++++=++++=s s s s s s F)()2()(2)(2t U e e t t f tt --++=δ (4)24111)2)(1(23123)(22+-++=+++-=++=s s s s s s s s s F )()4()()(2t U e e t t f tt ---+=δ(5)4422)(+-+++=s s s s F)()42()()(42t U e e t t f tt ---+'=δ(6)s s s s s s K s K s K s K s K s F 3113)2(2)1(11)1()1()(2232222113212311-+++++++=+++++++=)()3()()321()()33221()(22t U t t U e t t t U t e te e t t f t t t t -+++=-+++=---- (7)因22)1(222)1(2212)1(2)(+-⨯++-=--s e s s F s又因有42)(2sin 2+↔s t tU故由时移性有 se s t U t -+↔--42)1()1(2sin 2又由复频移性有)1(24)1(2)1()1(2sin --+-↔--s t es t U t e故 )1()1(2sin 21)(2sin )(--+=t U t e t tU e t f t t(8)s e s s F --⨯=111)( 故∑∑∞=∞=-=-*=0)()()()(n k K t U K t t U t f δ, N K ∈(9)s e e s F ss ---⨯-=121)( 因有 )1(1)1()(s e s t U t U --↔--故[][])2()2()1()1(2)()1()()1()()(--+---=--*--=t U t t U t t tU t U t U t U t U t f 4、已知系统函数)(ϖj H 如图所示，激励)(t f 的波形如图所示。

求系统的响应)(t y ，并画出)(t y 的频谱图。

解：)(sin 2ϖπG tt⇔ )]1000()1000([1000cos -++⇔ωδωδπt)1000(21)1000(21)]1000()1000([)(21)(221-++=-++*=ωωωδωδπωπωG G G j F又：t t f t s t f t y 1000cos )()()()(1== 所以：=-++*=)]1000()1000([)(21)(1ωδωδπωπωj F j Y)2000(41)(21)2000(41222-+++ωωωG G G所以：)(21)()()(21ϖϖϖϖG j H j Y j Y ==所以：)(21)(t Sa t y π=5、图题所示系统，)(ϖj H 的图形如图 (b)所示，)(t f 的波形如图(c)所示。

求响应)(t y 的频谱)(ϖj Y ，并画出)(ϖj Y 的图形。

解： )()(t Sa t f c cϖπϖ= 所以：)()(2ϖϖϖc G j F =)()()()()(2ωωωωωωc G j H j H j F j Y ==)(ϖj Y 的图形如图 (d)所示。

6、 求信号)100()(t Sa t f =的频宽（只计正频率部分）；若对)(t f 进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率N f 与奈奎斯特周期N T 。

解： )(t f 的图形如图(a)所示。

)(100)100()(2ϖπG t Sa t f ⇔=，其频谱图如图(b)所示。