1、 系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。

其中X （0-）为系统的初始状态。

（1）()()2f t y t e = （2）()()cos2y t f t t = （3）()()2y t f t = 解：（1）()()2f t y t e = ① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()122212,f t f t y t e y t e ==那么 ()()()()()()()112211222221122a f t a f t a f t a f t a f t a f t y t ee e +⎡⎤⎣⎦+→==，显然，()()()1122y t a y t a y t ≠+，所以是非线性的。

② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()10122110,f t t f t y t e y t t e-=-=设()()102,f t t y t -→则()()()102210f t t y t e y t t -==-，所以是时不变的。

③ 因果性因为对任意时刻 t 1，()()121f t y t e =，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。

（2）()()cos2y t f t t = ① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()1122cos2,cos2y t f t t y t f t t ==那么()()()()()()()112211221122cos 2cos 2cos 2a f t a f t y t a f t a f t t a f t t a f t t +→=+=+⎡⎤⎣⎦,显然()()()1122y t a y t a y t =+，所以系统是线性的。

② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()()1110100cos2,cos2y t f t t y t t f t t t t =-=--设()()102,f t t y t -→则()()()21010cos2y t f t t t y t t =-≠-，所以是时变的。

③ 因果性因为对任意时刻 t 1，()()111cos2y t f t t =，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。

（3）()()2y t f t = ① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()11222,2y t f t y t f t ==那么()()()()()()()1122112211222222a f t a f t y t a f t a f t a f t a f t +→=+=+⎡⎤⎣⎦,显然()()()1122y t a y t a y t =+，所以系统是线性的。

② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()1110102,2y t f t y t t f t t =∴-=-⎡⎤⎣⎦设()()102,f t t y t -→则()()()210102y t f t t y t t =-≠-，所以系统是时变的。

③ 因果性因为对任意时刻 t 1，()()112y t f t =，当 10t >时，112t t <，即输出由未来时刻的输入决定，所以系统是非因果的。

2 利用冲激信号及其各阶导数的性质，计算下列各式：（1）()()3td f te t dt δ-⎡⎤=⎣⎦ （2）()()()3241f t t t dt δ∞-∞=+-⎰ （3）()()()t f t e t t dt δδ∞--∞'=+⎡⎤⎣⎦⎰ （4）()()1232tn f t et n dt δ∞--=-∞=-∑⎰解：（1）()()()0d f te t t dtδδ'⎡⎤==⎣⎦ （2）因为 ()()11t t δδ-=-，所以 ()()()()()()33312412412410t f t t t dt t t dt t δδ∞∞-∞-∞==+-=+-=+=⎰⎰（3）()()()()02t tt t t f t e t t dt e e δδ∞---=-∞=''=+=-=⎡⎤⎣⎦⎰（4）冲激串()n t n δ∞=-∞-∑ 中只有 两个：δ（t ）和δ（t+1）落在积分区间[-3/2 1/2]之中，因此()()()()11122332211tt n f t e t n dt e t t dt e δδδ∞-----=-∞=-=++=+⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰3 已知激励为零时刻加入，求下列系统的零输入响应。

（1）()()()()(),02,00y t y t f t y y --''''+=== （2）()()()()()()32,01,00y t y t y t f t y y --''''++===解：（1）特征方程为：210λ+=，特征根为 12,i i λλ==-，因此，y x （t ）为：()120it it x y t C e C e t -=+≥，代入初始条件并求解，有： 121212210C C C C iC iC +=⎧⇒==⎨-=⎩，所以()2cos 0it it x y t e e t t -=+=≥ （2）特征方程为：2320λλ++=，特征根为：121,2λλ=-=-，因此，y x （t ）为 ：()2120t t x y t C e C e t --=+≥ ；代入初始条件并求解，有：12112212201C C C C C C ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨--==-⎪⎩⎩，所以()220t t x y t e e t --=-≥4 已知LTI 系统的框图如图2-72所示，三个子系统的冲激响应分别为()()()()()()()1231,,h t U t U t h t U t h t t δ=--==，求总系统的冲激响应h(t)。

解：由图可知，总的冲激响应为()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()23110**1111111t t h t h t h t h t U t t U t U t d U t d U t U t U t tU t t U t U t U t t U t U t U t δττ-=+=+--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=--+--=---+--=--+⎡⎤⎣⎦⎰⎰5 一LTI 系统，初始状态不详。

当激励为f （t ）时全响应为()()32sin 2t e t U t -+，当激励为2f （t ）时全响应为()()32sin 2t e t U t -+。

求（1）初始状态不变，当激励为f （t-1）时其全响应，并指出零输入响应和零状态响应。

（2）初始状态是原来的两倍，激励为2f （t ）时其全响应。

解：设系统的零输入响应为()x y t ，f （t ）产生的零状态响应为()f y t ，因为系统是LTI 系统，由题设可得()()()()()()()()332sin 222sin 2t x f tx f y t y t e t U t y t y t e t U t --⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩，解此方程，得()()()()()333sin 2t x tf y t e U t y t e t U t --⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ （1） 由时不变性，此时的零状态响应为()1f y t -，而零输入响应不变，故全响应为：()()()()()()()31313sin 211t t x f y t y t y t e U t e t U t ---⎡⎤=+-=+-+--⎣⎦，其中 ：零输入响应为 ()33t e U t -，零状态响应为 ()()()31sin 211t e t U t --⎡⎤-+--⎣⎦（2） 根据线性性质，此时系统的零输入响应和零状态响应均为原来的两倍，故全响应为：()()()()32242sin 2tx f y t y t y t e t U t -⎡⎤=+=+⎣⎦，其中：零状态响应为()36t e U t -，零状态响应为()()322sin 2t e t U t --+6 求下列信号的傅里叶变换（1）()/21U t - (2) ()2jt e t δ-- （3）()()211t e t δ--- （4）()()1U t U t --解：（1）因为 ()()/212U t U t -=-，所以 ()()21/21j U t e j ωπδωω-⎡⎤-↔+⎢⎥⎣⎦ （2）因为 ()()222jt j e t e t δδ---=-，所以，()()212j jt e t e ωδ-+--=↔ （3）因为 ()()()2111t e t t δδ---=-，所以，()()211t j e t e ωδ----↔（4）因为 ()()()110.5U t U t g t --=-，所以()()0.512j U t U t Sa e ωω-⎛⎫--↔ ⎪⎝⎭7 利用傅里叶变换的对称性，求下列信号的傅里叶变换（1）()()()sin 211t f t t ππ-=-（2）()1f t tπ=解：（1）()()()()sin 212211t f t Sa t t πππ-==-⎡⎤⎣⎦-， 因为()2g t Sa τωττ⎛⎫↔⎪⎝⎭，令 4τπ=，()()442g t Sa πππω↔，根据对称性，得 ()()()()4442222Sa t g Sa t g πππππωπω↔-⇒↔，再由时移性质得： ()()4j f t g e ωπω-↔ （2）因为 ()2sgn t j ω↔，根据对称性，有()22sgn jtπω↔-，因此()1sgn j tωπ↔- 8 已知系统的微分方程如下：（a ）()()()()43y t y t y t f t '''++=； （b ）()()()()()56y t y t y t f t f t ''''++=+ （1）求系统的频率响应H （j ω）和冲激响应h （t ）； （2）若激励()()2t f t e U t -=，求系统的零状态响应()f y t 。

解：（a ）（1）由微分方程可知系统的频率响应为()()2111121343H j j j j j ωωωωω⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，因此冲激响应为()()()312tt h t e e U t --=- （2）设 ()()()(),f f f t F j y t Y j ωω↔↔，则()12F j j ωω=+，由频域分析()()()()()()()2111212343f Y j F j H j j j j j j j ωωωωωωωωω⎡⎤===⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦ 可令()312123f A A A Y j j j j ωωωω=+++++ ，其中()()()()111111232f j j A j Y j j j ωωωωωω=-=-=+==++ ()()()()22212113f j j A j Y j j j ωωωωωω=-=-=+==-++ ()()()()333113122f j j A j Y j j j ωωωωωω=-=-=+==++ 即 ()1/211/2123f Y j j j j ωωωω-=+++++，因此零状态响应为 ()()231122t t t f y t e e e U t ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（b ）（1）由微分方程可知系统的频率响应为()()21122356j H j j j j j ωωωωωω+-==+++++，因此冲激响应为()()()232t t h t e e U t --=-+（2）设 ()()()(),f f f t F j y t Y j ωω↔↔，则()12F j j ωω=+，由频域分析()()()()()()2211125623f j j Y j F j H j j j j j j ωωωωωωωωωω⎡⎤++===⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦ 可令()()3122232f A A A Y j j j j ωωωω=+++++ ，其中 ()()()21221213f j j j A j Y j j ωωωωωω=-=-+=+==-+()()()()222222122233f j j j d j A j Y j d j j j ωωωωωωωωω=-=-=-'⎛⎫+⎡⎤=+=== ⎪⎣⎦++⎝⎭()()()32331322f j j j A j Y j j ωωωωωω=-=-+=+==-+即 ()()2122122232232f d Y j j j j d j j j j ωωωωωωωω⎛⎫---=++=-++ ⎪++++++⎝⎭，因此零状态响应为()()()22322t t t f y t te e e U t ---=-+-9求下列信号的拉氏变换，并注明收敛域。