平面向量与圆锥曲线的综合问题例1 已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线的斜率的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知，，∴，．设．则，又，联立，解得，． （Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．联立 ∴，由，，得．①又为锐角，∴又∴2214x y +=1254PF PF •=-l k 2a =1b =c =1(F 2F (,)P x y (0,0)x y >>22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=---=+-=-2214x y +=22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩221134x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩P 0x =l 2y kx =+11(,)A x y 22(,)B x y 22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩1221214x x k =+1221614kx x k+=-+22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>2430k ->234k >AOB ∠cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>12120OA OB x x y y ⋅=+>212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k=+⋅+⋅-+++∴．② 综①②可知，∴的取值范围是 例2 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I ）求圆的方程；（II ）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．（I ）解法一：设两点坐标分别为，，由题设知． 解得，所以，或，． 设圆心的坐标为，则，所以圆的方程为 解法二：设两点坐标分别为，，由题设知．又因为，，可得．即．由，，可知，故两点关于轴对称，所以圆心在轴上．设点的坐标为，则点坐标为，于是有，解得，所以圆的方程为． （II ）解：设，则．在中，，由圆的几何性质得 22212(1)21641414k k kk k+⋅=-+++224(4)014k k -=>+2144k -<<2344k<<k 33(2,)(,2)22--OAB 22y x =O C OAB C C M 22(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=M P C PE PF ，E F ，CE CF •A B ，2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222y y ⎛⎫⎪⎝⎭，=221212y y ==(6A (6B -，(6A -，(6B C (0)r ，2643r =⨯=C 22(4)16x y -+=A B ，11()x y ，22()x y ，22221122x y x y +=+2112y x =2222y x =22112222x x x x +=+1212()(2)0x x x x -++=10x >20x >12x x =A B ，x C x C (0)r ，A 32r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2322r ⎫=⨯⎪⎪⎝⎭4r =C 22(4)16x y -+=2ECF a ∠=2||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-Rt PCE △4cos ||||x PC PC α==，，所以，由此可得．则的最大值为，最小值为．例3 已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．（1）已知，，求的值；（2）求的最小值．解法一：（Ⅰ）设点，则，由得： ，化简得．（Ⅱ）（1）设直线的方程为：．设，，又， 联立方程组，消去得：，，由，得： 整理得：解法二：（Ⅰ）由得：，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：． （Ⅱ）（1）由已知，，得．||||17PC MC +=≤18+=||||1716PC MC -=-=≥12cos 23α≤≤1689CE CF --≤≤CE CF 169-8-(10)F ，:1l x =-P P l Q QP QF FP FQ •=•P C F C A B，l M 1MA AF λ=2MB BF λ=12λλ+MA MB()P x y ，(1)Q y -，QP QF FP FQ =(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，2:4C y x =AB 1(0)x my m =+≠11()A x y ，22()B x y ，21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，x 2440y my --=2(4)120m ∆=-+>121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．1MA AF λ=2MB BF λ=1112y y m λ+=-2222y y m λ+=-1121my λ=--2221my λ=--12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=QP QF FP FQ =()0FQ PQ PF +=()()0PQ PF PQ PF ∴-+=220PQ PF ∴-=PQ PF ∴=P C C 24y x =1MA AF λ=2MB BF λ=120λλ<P B QMFO A xy则：．…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…………②由①②得：，即．（Ⅱ）（2）解：由解法一，当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．同步练习1 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ B ）A ．9 B ．6C ．4D ．32 设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（ B ）AB ．CD ．3已知是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C ）A ．(0，1) B ．(0，] C ．(0，) D ．[，1)4 已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|=2c ，点A 在椭圆上，=0，则椭圆的离心率e= （ ）A ．B ．C ．D ．5 P 是抛物线上的动点，点A （0,-1），点M 满足，则点M 的轨12MA AF MBBFλλ=-A B ，l 1A 1B 11MA AA AFMB BB BF ==12AFAF BFBF λλ-=120λλ+=(2121M M MA MB y y y y =--221212(1)()M Mm y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+⨯+224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥221m m =1m =±MA MB 16F 24y x =AB C ，，FA FB FC ++=0FA FB FC ++=12F F ，2219y x -=P 120PF PF •=12PF PF +=12F F 、1MF 2MF M 21222212222=+by a x 211F F AF ⋅221c AF AF =⋅33213-215-22)1(212-=y x 2PM MA =迹方程是（ A )A ） （B ） （C ） （D ）6 .已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为 ( B )A. B. C. D.7设直线过点P （0，3），和椭圆顺次交于A 、B 两点，若 则λ的取值范围为______8已知点，动点满足，则动点P 的轨迹方程是______9椭圆E 的中心在原点O ，焦点在轴上，其离心率, 过点C （－1,0）的直线与椭圆E 相交于A 、B 两点，且满足点C 满足（1）用直线的斜率k ( k ≠0 ) 表示△OAB 的面积；（2）当△OAB 的面积最大时，求椭圆E 的方程。

解：（1）设椭圆E 的方程为( a ＞b ＞0 )，由e =∴a 2=3b 2故椭圆方程x 2+ 3y 2= 3b 2设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),由于点C （－1，0）分向量的比为2，∴ 即由消去y 整理并化简得 (3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2－3b 2=0 由直线l 与椭圆E 相交于A （x 1,y 1）, B (x 2,y 2)两点得：)31(612+=y x )31(612+=x y )31(312-=y x )1(312+-=y x ||||MN MP MN NP ⋅+⋅x y 82=x y 82-=x y 42=x y42-=l 22194x y +=AP PB λ=()()A ,2,B 04o -，()P ,x y 2.8PA PB y =-22x y =x 32=e l 2AC CB =l 12222=+by a x 32=a c AB ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+0321322121y y x x ⎩⎨⎧-=+-=+21212)1(21y y x x ⎩⎨⎧+==+)1(33222x k y b y x ① ②而S △OAB ⑤ 由①③得:x 2+1=－，代入⑤得：S △OAB =（2）因S △OAB =,当且仅当S △OAB 取得最大值 此时 x 1 + x 2 =－1, 又∵=－1 ∴x 1=1,x 2 =－2 将x 1,x 2及k 2=代入④得3b 2 = 5 ∴椭圆方程x 2 + 3y 2= 5 10在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I ）求的取值范围；II ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为代入椭圆方程得． 整理得 ①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>∆13331360222212221k b k x x k k x x AB C 的内分点）是恒成立（点|1|||23|)1(|23||23|2|21||212222221+=+==--=-=x k x k y y y y y 1322+k )0(13||32≠+k k k 23323||1||3313||32=≤+=+k k k k ,33±=k 3221x x +31xOy (0k l 2212x y +=P Q k x y A B ，k OP OQ +AB k l y kx =22(12x kx +=221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭l P Q 2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭③ ④解得或．即的取值范围为． （Ⅱ）设，则， 由方程①，． ②又． ③而． 所以与共线等价于， 将②③代入上式，解得． 由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．2k <-2k >k 222⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∞∞1122()()P x y Q x y ，，，1212()OP OQ x x y y +=++，12212x x k +=-+1212()y y k x x +=++(01)(A B AB =-，，OP OQ +AB 1212)x x y y +=+k =k <k >k。